Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 3 из 7)
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.28) - (1.31), тогда система (1.1) запишется в виде:
(2.1)Интегральные кривые в этом случае имеют вид:
(2.2) 
(2.3)Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы нулю и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:
(2.4)Из (2.4) получаем, что
, 
, 
, 
.Ординаты точек покоя имеют вид:
, 
, 
, 
.Итак, имеем точки
, 
, 
, 
.Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия
, 
, 
, 
.Исследуем точку
.Составим характеристическое уравнение в точке
. 
Отсюда
(2.5) 
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
= 
=0. 
,Или
.Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут 
.Корни
- действительные, различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно, точка - седло.Исследуем точку
.Составим характеристическое уравнение в точке
.Согласно
равенствам (2.5) характеристическое уравнение примет вид:
,Или
.Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут 
,то есть
, 
.Корни
- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка -неустойчивый узел, если d>0, то точка
-устойчивый узел.
Исследуем точку
.Применяя равенства (2.5), составим характеристическое уравнение в точке
: 
Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут
,то есть
, 
.Корни
- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка - устойчивый узел, если d>0, то точка - неустойчивый узел.Исследуем точку
.Составим характеристическое уравнение в точке
.Применяя равенства (2.5), получим:
,Или
Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут
,то есть
, 
.Корни
- действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка -седло.
Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости в конце оси oy. Преобразование
[7]переводит систему (2.1) в систему:
(2.6)где
.Для исследования состояний равновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку
. Составим характеристическое уравнение в точке . 
Получим, что
Корни
- действительные и одного знака. Следовательно, точка - устойчивый узел.Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7]
Это преобразование систему (2.1) переводит в систему: 
(2.7)где
.Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Имеем:
Получаем, что
. Следовательно, состояний равновесия вне концов оси oyнету.