Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 2 из 7)
Пусть s¹0, тогда из равенств (1.151), (1.153), (1.154) и (1.173) получаем, что
m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)
А из соотношений (1.161), (1.163) и (1.171) найдем выражения коэффициентов кривой (1.13) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:
(1.19) 
(1.20) 
(1.21) 
(1.22)Подставляя коэффициенты s, b, g и d в равенства (1.162) и (1.172), получим два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a2, b1, b2:
(1.23) 
(1.24)Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.2 Система (1.14) имеет частный интеграл (1.13), коэффициенты которого выражаются формулами (1.19) - (1.22), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.23), (1.24) и b1¹0, b2¹0, a1=2b2.
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)
В разделах 1.1-1.2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых второго порядка при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(1.25) 
Причем b1¹0, b2¹0, a1¹0, b1a-b2b¹0.
Выражая c из первого уравнения системы (1.25), получим
(1.26)Подставим (1.26) во второе и третье уравнения системы (1.25). Получим два соотношения, связывающие параметры a, b, d, a2, b1, b2:
Пусть
и 
(1.27)Из первого уравнения системы (1.27) получим
Подставляя
во второе уравнение системы (1.27), найдем 
.Из соотношений (1.25) при условиях (1.27) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:
(1.28) (1.29) 
(1.30) 
, 
, 
, , 
(1.31)Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.28) - (1.31), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1
(1.32)a2
(1.33)a3
(1.34)s
(1.35)b
(1.36)g
(1.37)d
(1.38)Теорема 1.3 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.32) - (1.38), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.28) - (1.31).
Пусть
(1.39)Из первого уравнения системы (1.39) найдем
, 
.Подставляя
во второе уравнение системы (1.39), получим равенство: 
(1.40)Поскольку
, то рассмотрим два случая: 
, тогда 
.Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.40) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:
, , 
(1.41) , , , , (1.42)Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.41) - (1.42), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1
(1.43)a2
(1.44)a3
(1.45)s
(1.46)b=0 (1.47)
g
(1.48)d
(1.49)Теорема 1.4 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.43) - (1.49), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.41) - (1.42).
б)
(1.50) (1.51)Из (1.50) найдем
: 
Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.50) - (1.51) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:
, 
- любое число, 
(1.52) , , , 
, (1.53)Равенства (1.9) - (1.11) и (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.52) - (1.53), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1=0 (1.54)
a2
(1.55)a
(1.56)s
(1.57)b
(1.58)g
(1.59)d
(1.60)Теорема 1.5 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.54) - (1.60), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.52) - (1.53).
2. Качественное исследование построенных классов систем
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)
Будем проводить наше исследование в предположении, что
, 
, 
.