Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков (стр. 5 из 5)

где t=zτ, dt=zdτ.

Для исследования состояний равновесия на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку (0,0), которая является состоянием равновесия данной системы. Составим характеристическое уравнение в точке (0,0):

=0.

Корни λ₁,λ₂–действительные и различных знаков, значит точка (0,0) – седло.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.7) в виде таблицы 2.

Таблица 2

d	O (0,0)	A( )	∞
			N0	N1	N2
(-∞; 0)	ТопологическоеУзел	НеустойчивыйУзел	Седло	УстойчивыйУзел	Седло
(0;∞)	ТопологическоеУзел	УстойчивыйУзел	Седло	УстойчивыйУзел	Седло

Положение кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 даётся соответственно рис. 2 (а, б).

Поведение траекторий системы (2.7) в целом при d<0, d>0 представлено на рис. 4 (а, б) приложения Б.

Так как Воробьёв А.П. [10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса, тогда исследуя вид кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.7) не имеет предельных циклов.

a) d<0

б) d>0

Рис. 2

Заключение

В данной дипломной работе построены два класса квадратичных двумерных стационарных систем при условии, что частными интегралами являются кривые второго и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольные параметры систем.

Проведено качественное исследование построенных классов систем при фиксированном значении одного из параметров системы. Выведены необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. В зависимости от условий на коэффициенты были рассмотрены два случая. Найдены состояния равновесия полученных систем, которые принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удалённая часть плоскости систем и доказано отсутствие предельных циклов. Построена качественная картина поведения траекторий систем в круге Пуанкаре.

Список источников

1 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. – 839 с.

2 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – УМН, 1941. – Вып. 9. – 643 с.

3 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.:Гостехиздат, 1941. – 340 с.

4 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. – ПММ. – 1952. – Т.16, Вып. 6. – с. 659–670.

5 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. – 274 с.

6 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний. – ПММ. – 1963 Т.27, Вып. 1. – 230 с.

7 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения

, где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР. – 1963. – Т.7, №11. – 950 с.

8 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1970. – Т.6, №10. – с. 1752–1760.

9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1973. – Т.9, №3. – 256 с.

10 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа "узел" // ДАН БССР. – 1960. – Т.4, №9. – 720 с.