Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення (стр. 1 из 4)

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Кожан Роман Володимирович

УДК 517.98

КАТЕГОРНІ ВЛАСТИВОСТІ ПРОСТОРІВ ЙМОВІРНІСНИХ МІР ТА ГІПЕРПРОСТОРІВ ВКЛЮЧЕННЯ

01/01/01 математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів-2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

декан механіко-математичного факультету,

завідувач кафедри геометрії і топології,

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор

Загороднюк Андрій Васильович,

завідувач кафедри математичного аналізу Прикарпатського національного

університету імені В. Стефаника

доктор фізико-математичних наук, професор

Маслюченко Володимир Кирилович,

завідувач кафедри математичного аналізу, Чернівецького національного

Університету імені Ю. Федьковича

Захист відбудеться 17 квітня 2008 р. о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 13березня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої радиТарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато конструкцій функціонального аналізу, топологічної алгебри, загальної топології є функторіальними у відповідних категоріях. Прикладом може служити конструкція простору ймовірнісних мір (невід'ємних нормованих адитивних функціоналів на просторах неперервних функцій), яка визначає коваріантний функтор на категорії компактних гаусдорфових просторів. Властивості функтора ймовірнісних мір стали предметом дослідження багатьох математиків. Зокрема, А. Пелчинський [1] застосував простори ймовірнісних мір до задачі топологічної класифікації банахових просторів неперервних функцій на компактних гаусдорфових просторах. У своїй монографії Пелчинський виділив два класи компактних гаусдорфових просторів: простори Мілютіна та простори Дугунджі.

Систематичне дослідження функтора ймовірнісних мір провів Є.В. Щепін[2] у 1981 році в рамках створеної ним загальної теорії нормальних функторів у категорії компактів. Зокрема, він показав глибокий зв'язок між властивістю відкритості функтора ймовірнісних мір і властивістю бікомутативності, тобто властивістю зберігати клас бікомутативних діаграм в сенсі К. Куратовського.

Є.Щепін довів, що з відкритості нормального функтора випливає його бікомутативність і сформулював проблему про еквівалентність цих двох умов (для випадку нормальних функторів скінченного степеня еквівалентність умов відкритості та бікомутативності довів М. Зарічний[3]; він показав, що ці дві умови є характеризаційними для функторів

-симетричного степеня

Одним з основних понять, запроваджених в дисертації, є поняття мультикомутативного та відкрито-мультикомутативного функтора. Ці властивості є узагальненням бікомутативності, поширеної на скінченні діаграми більш загального виду. Одночасно, це поняття відкритої мультикомутативності поєднує також і відкритість нормального функтора, яка є необхідною умовою відкртої мультикомутативності.

Ще одним функтором, який досліджується в дисертоції з точки зору відкритої мультикомутативності є функтор гіперпросторів включення. Значення функтора гіперпросторів включення полягає в тому, що він відіграє в теорії топологічних напівграток Лоусона таку ж роль, що і функтор ймовірнісних мір в теорії опуклості.

Гіперпростори включення допускають природну інтерпритацію як неадитивні міри. Цей зв'язок між функтором гіперпросторів включення та неперервних зверху ємностей встановлено О. Никифорчином та М. Зарічним[4]. Вперше поняття ємності в математиці було введено Г. Шоке[5], а Л. Жоу[6] встановив гомеоморфізм простору ємностей та простору комонотонно-адитивних функціоналів, що дало змогу досліджувати функторіальні властивасті конструкції ємностей. Крім тісного зв'язку з функтором гіперпросторів включення, ємності мають широке застосування в економічній теорії та мікроекономіці.

В даній дисертаційній роботі поняття відкритої мультикомутативності поширюється також на слабко-нормальні функтори. Тут доводиться відкрита мультикомутативність цілого ряду слабко-нормальних функторів, а саме функтора опуклих замкнених підмножин

, фунткора опуклих замкнених підмножин простору ймовірнісних мір

, фунткорів гіперпросторів включення

та суперрозширення

, а також їх композицій

Постає природнє питання, які з відомих властивостей нормальних та близьких до них функторів в категорії компактів Comp переносяться на продовження цих фунторів на більш широкі категорії, зокрама на категорію цілком регулярних просторів та їх неперервних відображень Tych. В даній робоіті розглядаються дві конструкції продовження простору ймовірнісних мір. Одна з них – міри з компактними носіями

, введена А. Чігогідзе[7], є універсальною для всіх нормальних функторів в категорії Comp. Інша – функтор радонів-ських мір

на тихонівському просторі, запропонована Т. Банахом[8].

В даній роботі досліджується частковий випадок відкритої мультикомутативності на квадратних діаграмах, а саме відкрита бікомутативність фунторів

та

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiйної роботи пов'язана з науково-дослідними роботами “Асимптотичні властивості аналітичних функцій, випадкових рядів, топологічних і алгебраїчних структур та їх застосування” (номер державної реєстрації 0104U002127). Робота виконана на кафедрі геометрії і топології механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета i завдання дослiдження. В зв'язку з вищезгаданими проблемами виникла необхiднiсть продовження вивчення питання відкритості і бікомутативності нормальних та близьких до нормальних функторів. Зокрема, з цим тісно пов'язане питання їх відкритої мультикомутативності.

Об'єктом дослідження є нормальні та близькі до нормальних функтори в категорії копактних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень, а також деякі функтори в категорії цілком регулярних топологічних просторів.

Предметом дослідження є властивості відкритої мультикомутативності нормальних функторів та існування критеріїв відкритої мультикомутативності.

У данiй роботi розглядаються наступнi проблеми.

1. Знайти критерії відкритої мультикомутативності нормальних функторів.

2. Які з відомих нормальних та слабко-нормальних функторів є відкрито-мультикомутативними в категорії Comp?

3. Які з відомих функторів є

-відкрито-мультикомутативними в категорії Comp?

4. Чи продовжується властивість відкритої мультикомутативності на категорію Tych?

5. Чи є характеристичне відображення квадратних діаграм відкритим у випадку функторів

та

Наукова новизна одержаних результатiв. Всi одержанi науковi результати ї новими. У дисертацiйнiй роботi

1. введено поняття відкритої мультикомутативності нормальних та близьких до них функторів, яке поєднує у собі поняття відкритості та бікомутативності функторів.

2. встановлено критерії відкритої мультикомутативності в категорії Comp для нормальних та слабко нормальних функторів.

3. поняття відкритої мультикомутативноссті поширено на нескінченні діаграми і встановлено її зв'язок з

-відкритою мультикомутативністю.

4. доведено, що функтори

є відкрито-мультикомутативними в категорії Comp.