Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення (стр. 3 из 4)
Наступний результат дозволяє будувати нові відкрито-мультикомутативні функтори як композиції відкрито-мультикомутативних.
Твердження 3.3.5. Нехай
Top -- деякі категорії і функтори 
та 
є відкрито-мультикомутативними, тоді композиція функторів 
є також відкрито-мультикомутативним функтором.З твердженнь 3.3.5 та 3.2.1 випливає
Наслідок 3.3.6. Функтор
є відкрито-мультикомутативним.Твердження 3.3.7. Функтори
і 
є відкрито-мультикомутативними.Оскільки фунтор
є слабко-нормальним і відкритим, то згідно з теоремою 2.4.26 для його відкритої мультикомутативності достатньо показати, що він є скінченно відкрито-мультикомутативний.Твердження 3.4.2. Функтор
є скінченно відкрито-мультикомутативним.Твердження 3.4.6. Функтор
є відкрито-мультикомутативним.Розглядається кілька відомих методів продовження функтора ймовірнісних мір з категорії компактів на категорію цілком регулярних топологічних просторів та їх неперервних відображень Tych. Одна з найпростіших конструкцій продовження функторів на категорію Tych – є міри на Стоун-Чехівській компактифікації цілком регулярного топологічного простору. Поряд з цим також існує кілька альтернативних методів продовження функтора ймовірнісних мір на Tych, такі як функтор мір з компактнми носіями, функтор мір Радона (радонівські міри), функтор
-гладких мір.Для тихонівського простору
розглянемо 
supp 
множину всіх борелевих ймовірнісних мір на з компактними носіями, де 
є Стоун-Чехівською компактифікацією простору . Ця конструкція дозволяє нам продовжувати функтор 
з категорії Comp на категорію Tych. А. Відомо, що 
є нормальним функтором в категорії Tych. Іншою конструкцією пордовження функтора ймовірнісних мір є функтор радонівських мір 
.Теорема 4.3.1. Відображення
є відкритим.Оскільки
, характеристичне відображення 
можна представити як 
. Має місце наступний наслідок попередньої теореми.Теорема 4.3.2. Відображення
є відкритим.ВИСНОВКИ
В даній роботі вводиться поняття відкритої мультикомутативності коваріантних функторів у категорії компактів та інших топологічних категоріях, яке поєднує в собі поняття відкритості та бікомутативності. Це дозволяє виділити клас функторів, які природньо поєднують в собі ці дві властивості. Формулюються критерії відкритої мультикомутативності. А саме, встановлена еквівалентність відкритої мультикомутативності зі скінченною відкритою мультикомутативністю; ця еквівалентність значно спрощує дослідження. Зокрема, для встановлення відкритої мультикомутативності достатньо перевірити, що слабко-нормальний відкритий, бікомутативний функтор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси складені зі скінченних просторів. Також встановлено таку еквівалентність цього поняття на скінченних та нескінченних діаграмах: якщо слабко-нормальний функтор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси на скінченними діаграмами, то він зберігає їх і над всіма діаграмами. Цей результат також дозволяє значно спростити аналіз і обмежитись розглядом досить вузького кола діаграм.
В розділі 3 доведено, що такі функтори, як функтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, гіперпростору включення, опуклих підмножин, неперервних зверху ємностей, а також їх композиції є відкрито-мультикомутативними. Це в свою чергу доводить непорожність класу відкрито-мультикомутативних функторів в категорії Comp.
Важливим питанням категорної топології є продовження функторів на ширші категорії. Тому також є природним питання поширення означення відкритої мультикомутативності на функтори, які діють в категорії цілком регулярних просторів Tych. В розділі 4 зроблені кроки у цьому напрямку, а сааме, розглянуто питання відкритої бікомутативності продовжень функтора ймовірнісних мір. Доведено, що такі продовження, як функтор мір з компактними носіями і функтор мір Радона, є відкрито-бікомутативними.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Kozhan, R. V. Open-multicommutativity of some functors related to the functor of probability measures // Matematychni Studii – 2005. – Vol.23, №4.
2. Кожан, Р.В., Пронеперервнiстьвiдповiдностейймовiрнiснихмiрвкатегорiїцiлкомрегулярнихпросторiв // НауковийвісникЧернівецькогоуніверситету: збірникнауковихпраць. Математика. – 2006. – Т. 314-315. – c.94—99.
3. Kozhan, R.V., Open-multicommutativity of the functor of upper-continuous capacities // Вісник Львів. Ун-ту. Сер. Мех.-матем. – 2006. – V.66.
4. Kozhan, R.V. On сontinuity of correspondences of probability measures in the category of Tychonoff spaces // Міжнароднакоференція "Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications", Львів, 2004, тезидоповідей.
5. Kozhan, R.V. Open-multicommutativity of the functor of probability measures // Четвертаміжнароднаалгебраїчнаконференція, Львів, 2003, тезидоповідей.
6. Kozhan, R.V. Open-multicommutativity of normal functors // Міжнароднийконгресматематиків "International Mediterranean Congress of Mathematics", м. Альмерія, 2005, тезидоповідей.
АНОТАЦІЯ
Кожан Р.В. Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.
Ключові слова: відкрита мультикомутативність, слабко-нормальний функтор, характеристичне відображення конуса, категорія, діаграма
Дисертація присвячена вивченню категорних властивостей нормальних та слабко-нормальних функторів в категорії компакних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень. Зокрема досліджуються умови та критерії відкритості коваріантних функторів. Є. Щепін встановив, що кожний відкритий нормальний функтор є бікомутативним. М. Зарічний посилив цей результат і встановив, що відкритість є критерієм бікомутативності для функторів скінченного степеня.
В даній роботі вводиться поняття відкритої мультикомутативності, яке є узагальненням відкритості та бікомутатвності слабко-нормальних функторів. Встановлюються критерії мультикомутатвності, відкритої мультикомутативності та
-відкритої мультикомутативнос-ті функторів, а також їх звєязок між собою. В дисертації автором доводиться відкрита мультикомутативність ряду функторів, серед яких фунтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, функтор гіперпросторів включення, неперервних зверху ємностей та їх композицій.Проблема продовження функторів з категорії компактів на категорію цілком регулярних просторів досліджується в дисертації в контексті відкритої мультикомутативності. Зокрема, розглядаються часткові випадки відкритої мультикомутативності функторів радонівських мір та мір з компактними носіями відповідно. Задача представлена у термінах відповідностей з просторів ймовірнісних мір на добутку тихоновських просторів. Встановлена неперервність відповідностей, що є еквівалентною відкритості характеристичного відображення квадратних діаграм.
ABSTRACT
Kozhan R.V. Categorical properties of spaces of probability measures and inclusion hyperspaces. – Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 – Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2007.
Key words:open-multicommutativity, weakly normal functor, characteristic map of a cone, category,diagram
The thesis is devoted to investigation of the categorical properties of normal and weakly normal functors in the category of compact Huasdoff spaces and their continuous maps. In particular, conditions and criteria for openness of covariant functors are studied. E. Shchepin proved that each open normal functor is bicommutative. M.Zarichnyi extended the result and showed that the openness is a necessary and sufficient condition for bicommutativity of functors of finite degree.
A new notion of open multicommutativity is introduced in the thesis and this notion is a generalization of openness and bicommutativity of weakly-normal functors. Criteria of multicommutativity, open-multicommutativity and
-open-multicommutativity of functors are established and shown their connection between each other. The author proves open-multicommutativity of a number of functors such as functor of probability measures, hypercpace, superextension, functor of inclusion hyperspaces, upper-continuous from above capacities and their superpositions.