Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення (стр. 2 из 4)

5. показано відкриту бікомутативність функтора

в категорії Tych.

6. встановлена відкритість характеристичного відображення квадратних діаграм у випадку функторів

та .

Практичне значення одержаних результатiв. Отриманi в дисертацiйнiй роботi результати мають теоретичний характер i можуть знайти застосування у функцiональному аналiзi, категорній топології, економічній теорії та теорії ігор.

Особистий внесок здобувача. Всi науковi результати, включенi у дисертацiю, одержанi здобувачем самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї доповiдались:

1. на Львiвському мiському топологiчному семiнарi (м. Львiв, 2002-2005 рр.);

2. наміжнароднійкоференції "Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications" (м.Львів, травень 2004 р.), доповідь: R.V. Kozhan, On Continuity of correspondences of probability measures in the category of Tychonoff spaces;

3. начетвертійміжнароднійалгебраїчнійконференції (м. Львів, серпень 2003 р.), доповідь: R.V. Kozhan, Open-multicommutativity of the functor of probability measures;

4. наміжнародномуконгресіматематиків "International Mediterranean Congress of Mathematics", Almeria (червень 2005р.), доповідь: R.V. Kozhan, Open-multicommutati-vity of normal functors.

5. наміжнароднійконференції "Analysis and related topics" (м.Львів, листопад 2005р.), доповідь: Р.Кожан,

- відкритамультикомутативністьнормальнихфункторів.

Публiкацiї.Результати дисертацiї опублiковано у 3 статтях (без співавторів), які опублiковано у виданнях, включених у перелiк ВАК України, в яких слiд опублiкувати результати дисертацiї.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається з переліку позначень, вступу, 3 розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації --- 131 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професорові М.М. Зарічному.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційного дослідження, визначена мета і об’єкти дослідження. Основна частина дисертації поділена на 4 розділи.

У першому розділі "Огляд літератури і результатів дисертації" робиться огляд літератури і дається короткий виклад результатів дисертаційної роботи.

У другому розділі "Поняття та критерії відкритої мультикомутативності" вводиться означення основного поняття, яке вивчається в дисертації – відкритої мультикомутативності коваріантних функторів.

Теорема 2.4.23.Нехай

-- деякий слабко-нормальний скінченно-відкрито-мультикомутативний функтор в категорії Comp. Тоді відображення є відкритим.

Наступна теорема є основним результатом цього розділу. Вона встановлює впіввідношення між поняттями відкритої мультикомутативності та скінченної відкритої мультикомутативності слабко-нормальних функторів в категорії Comp.

Теорема 2.4.26.Нехай слабко-нормальний функтор

є відкритим та бікомутативним. Тоді наступні твердження є еквівалентні:

(і)

є відкрито-мультикомутативним

(іі)

є скінченно відкрито-мультикомутативним.

Наслідок 2.4.27. Нехай

-- нормальний відкритий функтор в категорії Comp. Тоді наступні твердження є еквівалентними:

(і)

є відкрито-мультикомутативним

(іі)

є скінченно-відкрито-мультикомутативним.

Наслідок 2.4.28.Нехай

-- слабко-нормальний бікомутативний функтор в категорії Comp. Тоді функтор є мультикомутативним.

Природньо постає задача дослідження властивостей функторів, які зберігають відкрито-мультикомутативні конуси над нескінченними графами.

Наступна теорема являє собою критерій

-відкритої мультикомутативності слабко-нормальних функторів та показує її еквівалентність з відкритою мультикомутативністю на скінченних діаграмах.

Теорема 2.5.3. Кожний слабко нормальний відкрито мультикомутативний функтор

є -відкрито мультикомутативним.

В третьому розділі “Відомі функтори в категорії Comp та відкрита мультикомутативність” досліджуються конкретні приклади коваріантних функторів категорії Comp на відкриту мультикомутативність. Зокрема, розглядаються функтори ймовірнісних мір

, гіперпростору , гіперпростору включення , суперрозширення , функтор неперервних зверху ємностей , функтор опуклих підмножин їх композиції , . Відомо, що функтори та є нормальними, а функтори , , та є слабко нормальними, а також, що функтори , , , , є відкритими, а функтори , не є відкритими.

Застосовуючи критерій відкритої мультикомутативності ми легко отримуємо

Твердження 3.2.1. Функтор ймовірнісних мір

є відкрито-мультикомутативним.

З нормальності та відкритості функтора ймовірнісних мір в категорії Comp випливає

Наслідок 3.2.2.Функтор

є -відкрито-мультикомутативним.

Покажемо відкриту мультикомутативність функторів

, , , , а також їх композицій з функтором ймовірнісних мір та . Для цього спочатку встановимо їх бікомутативність.

Твердження 3.3.1. Функтори

та є бікомутативними.

З попереднього твердження легко випливає відкрита мультикомутативність вищезгаданих функторів.

Твердження 3.3.2. Функтори

, та є відкрито-мультикомутативними.

Покажемо відкриту мультикомутативність функтора

Conv Сomp.

Твердження 3.3.4. Функтор

є відкрито-мультикомутативним.