История чисел и счисления (стр. 5 из 5)
Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным; можно придумать еще более быстрые и еще более надежные. Одно из таких усовершенствований увеличивает надежность выполнения умножения. Оно состоит в том, что при многозначном множителе начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Выглядит это так:
8713
Х 264
1742652278
348522300232
Последнюю цифру каждого частного произведения подписывают под той же цифрой множителя, на которую умножают.
Преимущество подобного расположения в том, что цифры частных произведений, от которых зависят первые, наиболее ответственные цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку – меньшая.
Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который был употребителен у русских крестьян. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. [№1, стр. 50] Например:
23 х 17 ·
11 х 34 ·
5 х 68 ·
2 х 136
1 х 272; результат 272 + 68 + 34 + 17 = 391.
§3 Устный счет.
Жизнь для внимательного человека не только удивительно разнообразна, но и гениально проста. В полной мере эта фраза относится и к устному счету. Часто при арифметических действиях над числами можно облегчить свой труд, если знать основы арифметики и обладать некоторой смекалкой. Д.Р.Гончар рассказывает о следующих особенностях чисел, помогающих упростить счет:
Промежуточное приведение к «круглым» числам. Если хотя бы одно слагаемое близко к «круглому» числу десятков, сотен и др., т. е. А*10n – z, где z – сравнительно малое число, то вычисления можно упростить, приведя одно из слагаемых к ближайшему «круглому» числу и выполнив более легкое вычисление (затем, разумеется, учтя поправку).
Приведу пример, так как понять «с ходу» такой способ нелегко. (Дальше на каждый способ также будут приводиться примеры)
54 + 95 = 50 + 4 + 100 – 5 = 150 + 4 – 5 = 150 – 1 = 149.
Как видно из примера, полезно приводить слагаемые и к числам, кратным 50, 25 и т. д. Все зависит от конкретного случая и, повторюсь, от вашей смекалки. Такой способ кажется мне самым распространенным, причем многие проделывают такие вычисления автоматически, совсем не задумываясь над математическим смыслом и логичностью способа и уж тем более не догадываясь как он называется. Такому приему даже не надо учить, люди сами осваивают его в процессе изучения математики, постоянно сталкиваясь с такого рода вычислениями и ища пути полегче.
Использование изменения порядка счета. Интересный способ, позволяющий работать с большими числами. Заключается он в том, что при сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старших разрядов. Это существенно облегчает устное вычисление.
3264 + 2861 + 4100 = ? Складываем старший разряд слагаемых: 3 + 2 + 4 = 9; домножаем сумму на 10 (приписываем 0): 9*10 = 90; продолжаем прибавлять цифры следующего разряда:
90 + 2 + 8 + 1 = 101; повторяем операцию: 101*10 +6 +6 + 0 = 1010 + 12 = 1022; и еще раз:
1022*10 + 4 + 1 +0 = 10220 + 5 = 10225.
Эти же способы, слегка из изменив, можно применять и к вычитанию. Д.Р.Гончар предлагает и другие методы, но мне они кажутся чересчур надуманными, так как применимы они либо в очень ограниченном количестве случаев (например способ, в котором сумма нескольких слагаемых ищется по формуле суммы членом арифметической прогрессии), либо слишком сложны (как, например, складывание шестизначных чисел по разрядам попарно). [№6, стр.58, 61, Гончар Д.Р.]
Предложу еще один способ, которым всегда пользуюсь, когда ясно, что при вычитании получится отрицательное число. Принцип элементарен. Вытекает он из справедливости равенства
a – b = - (b – a).
Пример: 3627 – 9849 = ? Гораздо легче посчитать разность 9849 – 3627 = 6222. Результат (с минусом) и будет ответом: 3627 – 9849 = - 6222.
Можно облегчить и умножение, если, например, числа множителя делятся друг на друга:
32*36 = (32*3)*10 + (32*3)*2 = 96*10 +96*2 = 960 + 192 = 1152.
Облегчить умножение можно, использовав принцип «русского» способа умножения, о котором уже писалось в параграфе «Умножение и деление без приборов». Так, постепенно увеличивая один из множителей в n раз, а другой уменьшая в n раз, можно привести один из множителей к «круглому» виду:
75 * 24 = 75 *
* 24 * 
= 100 * 18 = 1800.Есть и еще способы, основанные на самых основных законах арифметики (распределительный и сочетательный). О них писать не имеет смысла.
Список литературы:
1. "Занимательная арифметика", Я.И.Перельман, издательство и год издательства не выяснены;
2. "Путешествие в историю математики", А.А.Свечников, изд. "Педагогика-Пресс", 1995 г.;
3. Еженедельник "Древо познания", изд. "МС ИСТ ЛИМИТЕД",
1. № 43 в России за 2003 г.;
2. № 73 в России за 2004 г.;
4. "Старинные занимательные задачи", С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов, изд. "Вита-Пресс", 1994 г.;
5. "Окно в удивительный мир информатики", М.Г.Коляда, изд. "Сталкер", 1997 г.;
6. "Устный счет и память", Д.Р.Гончар, А.Р.Лурия, В.В.Аткинсон, изд. "Сталкер", 1998 г.;