Иррациональные уравнения (стр. 9 из 10)
Упражнение 1. Освободиться от внешнего радикала в выражении
.Решение. Слагаемое
можно рассматривать как удвоенное произведение чисел 
и 
или чисел 
и 
. Число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором находим, что это условие выполняется для чисел и , т.е. 
.Получаем, что
О т в е т:
.4.2. Иррациональные показательные уравнения
Пример 1. Решить уравнение
.Решение.
; 
- решений нет.О т в е т:
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
- Решений нет, т.к.
О т в е т:
Пример 3. Решить уравнение
Решение.
; 
О т в е т:
.Приме 4. Решить уравнение
Решение.
; 
Введем новую переменную. Пусть
. Получаем, что 
. Тогда 
Выполним обратную замену.
Или 
; 
- решений нет.
; 
.О т в е т:{3}.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Множество М – общая часть (пересечение) областей существования функций
- есть все 
На множестве М функции
и 
положительны. Поэтому, логарифмируя обе части уравнения, получим уравнение, равносильное исходному на М. 
Решим уравнения совокупности.
. Введем новую переменную. Пусть 
. Получаем, что 
. Тогда 
. Выполним обратную замену. 
или 
. Тогда 
или 
.Получаем, что исходное уравнение равносильно системе:
О т в е т:
.Замечание. В задачах повышенной сложности встречаются уравнения вида
, где 
- некоторые положительные числа. Такие уравнения не являются иррациональными уравнениями, т.к. не содержат переменной под знаком радикала, но все, же разберем их решение в данном пункте.Пример 6. Решить уравнение
Решение. Преобразуем выражение
Тогда исходное уравнение примет вид:
Замечание. Можно заметить, что
, следовательно, 
и 
- взаимно обратные числа. Тогда 
. Введем новую переменную. Пусть 
, а 
Получаем, что исходное уравнение равносильно следующему 
. Тогда 
Выполним обратную замену.
или 
; 
; 
Тогда
. 
; 
Тогда
О т в е т :{-2;2}.
4.3 Иррациональные логарифмические уравнения
Пример 1. Решить уравнения
Решение.
; 
Учитывая, что
, данное уравнение равносильно системе: 
О т в е т:{32,75}.
Пример 2. Решить уравнения
Решение.
. Преобразуем правую часть уравнения. 
Вернемся к исходному уравнению.
; 
Введем новую переменную. Пусть
. Получаем, что 
.Решим уравнение системы.
; 
.