Замечание. Отметим, что точно также доказывается, что уравнение (4) есть следствие уравнения

.
Пример 1. Решить уравнение

(5).
Решение. Разность подкоренных выражений

и

есть

.

,
то уравнение

(6) является следствием исходного уравнения. Тогда, складывая уравнения (5) и (6), получим уравнение

(7), также являющееся следствием исходного уравнения (5). Возведем обе части уравнения (6) в квадрат, получим уравнение

(8), также являющееся следствием исходного уравнения. Решая уравнение (8), получаем, что

,

Проверкой убеждаемся, что оба этих числа являются корнями исходного уравнения.
О т в е т:

.
Замечание. Уравнение вида

можно решать умножением обеих частей уравнения на некоторое выражение, не принимающее значение ноль (на сопряженное левой части уравнения т.е.

Пример 2. Решить уравнение

(8).
Решение. Т.к.

, то умножим обе части уравнения на выражение

, являющееся сопряженным левой части уравнения (8).

. После приведения подобных слагаемых получаем уравнение

(9), равносильное исходному, т.к. уравнение

действительных корней не имеет. Складывая уравнения (8) и (9) получаем, что

. Тогда

О т в е т:

.
Замечание. Также уравнения вида

можно решать с помощью ОДЗ уравнения и равносильных переходов от одних уравнений к другим.
Пример 3. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.
ОДЗ:

Следовательно,

На ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому после возведения в квадрат получим уравнение:

, равносильное для

уравнению

Иногда решения уравнения можно найти, решая его на разных числовых промежутках.
Для любого

имеем

, а

. Следовательно, среди

нет решений уравнения

.
Для

имеем

. Следовательно,

для

.

. Тогда

. Т.к.

, то

является корнем уравнения

, равносильному уравнению

для этих х.
О т в е т:

.
Пример 4. Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение.

Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

Проверка показывает, что 5 является корнем исходного уравнения.
Замечание. Иногда значительно проще можно решать уравнения вида

, если воспользоваться свойствами монотонности функций, а именно тем, что сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, и всякая монотонная функция каждое свое значение принимает, лишь при одном значении аргумента. Действительно, функции

и

- возрастающие. Следовательно, их сумма - возрастающая функция.
Значит, исходное уравнение, если имеет корень, то только один. В этом случае, учитывая, что

, подбором легко найти, что 5 является корнем исходного уравнения.
О т в е т:{5}.
Пример 5. Решить уравнение

Решение. Если обе части исходного уравнения возвести в квадрат, то получится довольно сложное уравнение. Поступим по-другому: преобразуем уравнение к виду:

Решим неравенство системы.

Решением системы является множество:

.
Решим уравнение системы.

Убеждаемся, что 2 принадлежит множеству решений неравенства (рис.1).
Замечание. Если решать данное уравнение возведением обеих частей в квадрат, то необходимо выполнить проверку. 2 - целое число, поэтому при выполнении проверки трудностей не возникает. А что касается значения

, то подстановка его в исходное уравнение приводит к весьма сложным вычислениям. Однако такой подстановки можно избежать, если заметить, что при этом значении правая часть уравнения

принимает отрицательное значение:

. Тогда как левая часть уравнения отрицательной быть не может. Таким образом,

не является корнем уравнения - следствия данного уравнения. Тем более, это значение не может быть корнем исходного уравнения. Итак, корень уравнения - число 2.
О т в е т:{2}.
Пример 6. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.
ОДЗ:

Следовательно,

Для любых значений

из ОДЗ, удовлетворяющих условию

, т.е. для

из промежутка

левая часть уравнения отрицательна, а первая – неотрицательна, значит, ни одно из этих

решением уравнения быть не может.