Смекни!
smekni.com

Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 4 из 11)

Итак, прямая, содержащая центр инверсии, отображается при этой инверсии в себя; прямая, не содержащая центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через него. Поскольку инверсия инволютивна, то окружность, содержащая центр инверсии, отображается в прямую, не содержащую его.

Возьмем теперь окружность

, не проходящую через центр инверсии
. Тогда выполняется
. Ее образ имеет уравнение
(штрихи опущены). При раскрытии скобок получим
. Умножим на
, это будет равносильным преобразованием, поскольку
; получим
. Так как
, то этим уравнением задается окружность с центром
и радиусом
. Она не проходит через центр инверсии. Интересно, что центр инверсии 0, центр данной окружности s и центр ее образа
коллинеарны, поскольку число
действительное. Но центр окружности при инверсии не переходит в центр окружности образа. Если центр данной окружности sперейдет в
, то тогда должно выполняться
. Поскольку
, умножим на
, получим равносильное равенство
. Отсюда
, то есть
, что невозможно. Значит, предположение было неверно, и центр данной окружности не переходит в центр окружности образа.

Итак, окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

В частности, если центр инверсии совпадает с центром окружности, то

и окружность
при инверсии
переходит в окружность
, центр которой также совпадает с центром инверсии. Итак, окружность, центр которой совпадает с центром инверсии, при этой инверсии переходит в концентрическую окружность. В частности, окружность с уравнением
инвариантна.

Интересно, что центр инверсии является одновременно и центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Для нашего случая гомотетия будет иметь уравнение

. Убедиться в этом можно простой подстановкой: эта гомотетия переводит окружность
в фигуру
. Поделив обе части на
, получим окружность с центром
и радиусом
, что и требовалось доказать.

Теперь становится ясно, что каждую окружность можно при помощи подходяще выбранной инверсии перевести в другую данную окружность или прямую. Докажем это.

Пусть даны две окружности действительного радиуса. Рассмотрим сначала случай, когда их радиусы не равны.

Мы уже показали, что центры окружностей и центр инверсии должны лежать на одной прямой. Понятно, что центр инверсии не лежит на данных окружностях.

Точки, лежащие на прямой центров, переходят в точки, лежащие на той же прямой. Поэтому могут быть два порядка точек:

и
.

Введем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной совпадает с началом координат, а радиус ее равен 1.

Покажем, что существует инверсия для первого случая.

Пусть точки пересечения второй окружности с действительной осью имеют координаты а1 и а2. Тогда при инверсии а1 переходит в -1, а а2 – в 1. Тогда можно записать, что

,
. То есть получаем систему:
, что равносильно
. Вычтем:
, откуда, в силу неравности радиусов,
. Может статься, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения

=
.

Из второго условия получаем

=
. Тот же самый результат. Итак, получаем единственную инверсию с центром в точке
и степенью
.

Точка с координатой а2 лежит на действительной оси правее точки с координатой а1, поэтому для определения знака степени нужно знать знак произведения

.

Степень инверсии будет положительна в двух случаях: либо

, откуда
, либо
, откуда
, то есть когда одна окружность лежит целиком внутри другой. В остальных случаях степень инверсии будет отрицательна.

Рассмотрим второй случай. Тогда при инверсии а1 переходит в 1, а а2 – в -1. Можно записать, что

,
. То есть получаем систему:
, что равносильно
. Вычтем:
, откуда, в силу неравности радиусов,
.

Аналогично, может оказаться, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения

, откуда
. Из второго уравнения
=
. Тот же самый результат.

Знак степени определяется знаком произведения

. Отрицательна она будет только в случае
, то есть
или в случае
, то есть
. Это происходит в точности когда одна окружность лежит внутри другой. Положительной степень будет в противном случае.