Итак, прямая, содержащая центр инверсии, отображается при этой инверсии в себя; прямая, не содержащая центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через него. Поскольку инверсия инволютивна, то окружность, содержащая центр инверсии, отображается в прямую, не содержащую его.
Возьмем теперь окружность

, не проходящую через центр инверсии

. Тогда выполняется

. Ее образ имеет уравнение

(штрихи опущены). При раскрытии скобок получим

. Умножим на

, это будет равносильным преобразованием, поскольку

; получим

. Так как

, то этим уравнением задается окружность с центром

и радиусом

. Она не проходит через центр инверсии. Интересно, что центр инверсии
0, центр данной окружности
s и центр ее образа

коллинеарны, поскольку число

действительное. Но центр окружности при инверсии не переходит в центр окружности образа. Если центр данной окружности
sперейдет в

, то тогда должно выполняться

. Поскольку

, умножим на

, получим равносильное равенство

. Отсюда

, то есть

, что невозможно. Значит, предположение было неверно, и центр данной окружности не переходит в центр окружности образа.
Итак, окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
В частности, если центр инверсии совпадает с центром окружности, то

и окружность

при инверсии

переходит в окружность

, центр которой также совпадает с центром инверсии. Итак, окружность, центр которой совпадает с центром инверсии, при этой инверсии переходит в концентрическую окружность. В частности, окружность с уравнением

инвариантна.
Интересно, что центр инверсии является одновременно и центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Для нашего случая гомотетия будет иметь уравнение

. Убедиться в этом можно простой подстановкой: эта гомотетия переводит окружность

в фигуру

. Поделив обе части на

, получим окружность с центром

и радиусом

, что и требовалось доказать.
Теперь становится ясно, что каждую окружность можно при помощи подходяще выбранной инверсии перевести в другую данную окружность или прямую. Докажем это.
Пусть даны две окружности действительного радиуса. Рассмотрим сначала случай, когда их радиусы не равны.
Мы уже показали, что центры окружностей и центр инверсии должны лежать на одной прямой. Понятно, что центр инверсии не лежит на данных окружностях.
Точки, лежащие на прямой центров, переходят в точки, лежащие на той же прямой. Поэтому могут быть два порядка точек:

и

.

Введем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной совпадает с началом координат, а радиус ее равен 1.
Покажем, что существует инверсия для первого случая.
Пусть точки пересечения второй окружности с действительной осью имеют координаты а1 и а2. Тогда при инверсии а1 переходит в -1, а а2 – в 1. Тогда можно записать, что

,

. То есть получаем систему:

, что равносильно

. Вычтем:

, откуда, в силу неравности радиусов,

. Может статься, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения
k из обоих уравнений.
Из первого уравнения

=

.
Из второго условия получаем

=

. Тот же самый результат. Итак, получаем единственную инверсию с центром в точке

и степенью

.
Точка с координатой а2 лежит на действительной оси правее точки с координатой а1, поэтому для определения знака степени нужно знать знак произведения

.
Степень инверсии будет положительна в двух случаях: либо

, откуда

, либо

, откуда

, то есть когда одна окружность лежит целиком внутри другой. В остальных случаях степень инверсии будет отрицательна.
Рассмотрим второй случай. Тогда при инверсии а1 переходит в 1, а а2 – в -1. Можно записать, что

,

. То есть получаем систему:

, что равносильно

. Вычтем:

, откуда, в силу неравности радиусов,

.
Аналогично, может оказаться, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.
Из первого уравнения

, откуда

. Из второго уравнения

=

. Тот же самый результат.
Знак степени определяется знаком произведения

. Отрицательна она будет только в случае

, то есть

или в случае

, то есть

. Это происходит в точности когда одна окружность лежит внутри другой. Положительной степень будет в противном случае.