Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 11 из 11)
Вспомогательная задача 2. Даны две параллельные прямые и окружность, возможно вырожденная, либо прямая. Найти касающуюся всех трех фигур прямую.
○ Пусть заданы две параллельные прямые
и 
. Искомая прямая будет иметь уравнение 
.Если дана еще окружность
или точка, которую для простоты будем считать окружностью нулевого радиуса, то перенесем в центр этой окружности начало координат с помощью параллельного переноса 
. Расстояние от центра окружности до искомой прямой должно равняться радиусу окружности, то есть 
в переобозначенных координатах. Отсюда два значения q, но нужно следить, чтобы прямые не совпали.Если дана прямая, то если она не параллельна двум другим, то решений нет. Иначе решений бесконечно много, только нужно следить, чтобы прямые не совпали. ●
Алгоритм решения задачи Аполлония может быть таким:
1. Если все окружности расположены одна в другой, как матрешки (при одновременном выполнении условий[3]
, 
и 
), то решений нет, иначе:2. Определяем две окружности не одна в другой (для них не выполняется неравенство
); если они касающиеся (при 
или 
), то принимаем 
и выполняем следующий шаг один раз, иначе делаем их касающимися, повторяя для каждого х следующий шаг три раза.3. Изменяем радиусы, делая касание; определяем точку касания (ее координата будет равна
для касающихся окружностей Siи Sj); выполняем инверсию с центром в этой точке; решаем задачи 1 и 2, снова делаем инверсию; выводим и запоминаем результат, если такого еще нет.4. Проверяем результаты на касание. ●
2.2. Применение инверсии при доказательстве. Здесь снова используется тот факт, что зависимость данных и искомых в отображенной фигуре часто гораздо проще, чем в основной фигуре. Замечательно, если в задаче фигурирует окружность: метод дает возможность заменять фигуры, содержащие окружности, более простыми фигурами.
Теорема Птолемея. Для всякого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, верно
.□ Пусть точки A,B,C,D имеют координаты a, b, c, d соответственно.
Примем А за центр инверсии, и пусть степень инверсии равна 1. При этом окружность переходит в прямую. На этой прямой лежат образы точек B,C,D – точки B’,C’,D’, причем порядок точек сохраняется, поскольку по след 5 сохраняется двойное отношение точек В, В, С, D, а это есть простое отношение трех точек В, С, D. По свойству 3 можно записать:
, 
и 
.Из-за сохранения порядка точек верно
, то есть 
. Приведем к общему знаменателю: 
. Это и означает, что 
. ■Обратная теорема. Если для четырех неколлинеарных точек A, B, C, D верно
, то они лежат на одной окружности.□ Равенство
можно записать как 
. Ни одна из точек B, C, D не совпадает с А, так как иначе будет коллинеарность. Тогда это равносильно равенству . Получим при инверсии с центром А и степенью 1. Это значит, что B’,C’,D’ должны лежать на одной прямой и центр инверсии – точка А. При этой инверсии прямая могла быть переведена или из прямой, или из окружности. Никакая другая кривая не могла быть прообразом этой прямой, так как, по инволютивности, эта прямая есть также прообраз этой кривой при той же самой инверсии, то есть эта кривая – окружность или прямая, третьего не дано.Если это прямая, то она та же самая, и центр инверсии на ней. То есть все точки лежат на одной прямой. Противоречие условию теоремы. Значит, это была не прямая, а окружность. На ней лежат точки B,C,D. Но раз прямая переводится в окружность, то центр инверсии, то есть точка А, расположен на этой окружности. ■
Из этой теоремы следует теорема Пифагора, если четырехугольник является прямоугольником.
Заключение
Необходимо сразу оговориться, что работа не может претендовать на абсолютную полноту изложения данной темы. Однако цели, поставленные в начале работы, достигнуты. Выявлены и систематизированы основные определения и факты, рассмотрены основные виды задач, решаемых с помощью преобразования инверсии.
Интересно было бы рассмотреть симметрию относительно вообще любой плоской кривой, но это уже тема для отдельного исследования.
Дипломная работа может быть полезна студентам и учителям, ведущим факультативные занятия по данной теме. Работа легко может быть преобразована в соответствующую курсовую или дипломную работу по информатике, поскольку необходимые алгоритмы решения задач уже даны, остается только реализовать их на нужном языке программирования.
Библиографический список
1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия [Электронный ресурс]: пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. В 2 ч. Ч. 1. Планиметрия / акад. Ж. Адамар; пер. со 2 издания под ред. проф. Д. И. Перепелкина. – Изд. 3-е. – М.: Учпедгиз, 1948. – 608 с. Режим доступа: http://www.mccme.ru.
2. Александров, И. И. Сборник геометрических задач на построение [Электронный ресурс] / И. И. Александров; под ред. Н. М. Наумович. – Изд. 18-е. – М.: Учпедгиз, 1950. – 176 с. Режим доступа: http://www.mccme.ru.
3. Понарин, Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах [Текст]: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов / Я. П. Понарин. – М.: МЦНМО, 2004. – 160 с.: ил. – ISBN 5-94057-152-2.
4. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. [Электронный ресурс] / В. В. Прасолов. – На основе 4-го изд. (М.: МЦНМО, 2001) – М., 2003. – 551 с.: ил. Режим доступа: http://www.mccme.ru.
5. Яглом, И. М. Геометрические преобразования [Электронный ресурс]. В 2 ч. Ч. 2. Линейные и круговые преобразования / И. М. Яглом. – М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1956. – 612 с. – (Серия «Библиотека математического кружка»; вып. 8). Режим доступа: http://www.mccme.ru.
[1] Идея этого пункта рассмотрена в [5].
[2] Эти свойства сформулированы в виде фактов и теорем в источниках [1], [2], [3], [4], [5].
[3] Условия взаимного расположения окружностей даны в источнике [3] на с.88.