Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 10 из 11)
Таблица 4. Итоги.
| Измененный r1 | Измененный r2 | Измененный r3 | Измененный rw | x |
  |   |  ,  |  ,  |  |
  |   |  ,  |  |  |
 |   | , | |  |
Итак, первая и вторая окружности стали касаться. Посмотрим, может ли одна из них выродиться в точку.
В первом случае х отрицателен, если окружности пересекаются, но вырождение невозможно, так как это означало бы касание изначальных окружностей внутренним образом. А третья окружность может выродиться.
Во втором случае r2 точно не ноль, так как окружности не касаются внешним образом, и радиус первой явно положительное число. Но третья может выродиться.
В третьем случае все аналогично. Третья же окружность может выродиться.
Можно сделать вывод, что касающиеся окружности не вырождаются.
Обратим внимание, что искомая окружность тоже может выродиться в общую точку всех трех окружностей – точку касания первых двух. Но третья не будет касаться их в этой точке и не выродится, иначе окружности бы изначально были касающимися. То есть, в случае получающихся трех прямых, нужно учитывать и общую точку.
Вообще, задача свелась к следующей. Найти окружность, касающуюся трех данных, если две из них касаются и не вырожденные, а третья может быть вырожденной.
Выполним инверсию в точке касания. Касающиеся окружности перейдут в две параллельные прямые, а оставшаяся – в окружность (точку) или прямую. Нужно найти прямую или окружность, параллельную получающимся прямым или касающуюся получающейся окружности (проходящей через точку). Причем искомая окружность или прямая не должна проходить через точку касания, иначе она при инверсии перейдет в прямую, а не окружность.
Для начала ищем окружность, касающуюся двух параллельных прямых и еще одной прямой или окружности. Искомая окружность не должна проходить через А. Это вспомогательная задача 1.
Затем ищем прямую, параллельную двум параллельным прямым и еще одной прямой или касающуюся заданной окружности. Искомая прямая не должна проходить через А. Но не забываем и об общей точке трех прямых – бесконечно удаленной, которая при инверсии перейдет в центр инверсии и потом, возможно, станет центром искомой окружности. Это вспомогательная задача 2.
Вспомогательная задача 1. Даны две параллельные прямые и окружность, возможно вырожденная, либо прямая. Найти касающуюся всех трех фигур окружность.
○ Пусть заданы две параллельные прямые
и 
. Центр искомой окружности, очевидно, будет находиться на прямой 
.Если задана еще одна прямая
, то центр находится также на прямой 
. Получаем систему из уравнений двух прямых, из которых легко находим центр искомой окружности, если это возможно (то есть они все не параллельны). 
Û 
Û 
. Далее, если возможно, находим 
из второго условия и проверяем выполнение первого.Если найден центр, то радиус окружности находится как расстояние от прямой
до прямой . Для этого заметим, что точка с координатой 
лежит на прямой . Тогда расстояние от этой точки до прямой равно 
= 
= 
.Помним, что если мы изменяли радиусы, то решением является и бесконечно удаленная точка, то есть окружность с центром в бесконечно удаленной точке и нулевым радиусом.
Если задана окружность или точка
, которую для простоты будем считать окружностью нулевого радиуса, то перенесем в центр этой окружности начало координат с помощью параллельного переноса 
. В силу касания получаем либо систему 
, либо систему 
, где R – радиус искомой окружности – расстояние между параллельными прямыми и , 
- образ прямой при параллельном переносе. Обе системы легко решаются. ●