Инверсия и ее применение (стр. 8 из 9)

А, Аґ, Аґґ

щ (О, ОА), щ – искомая окружность.

Построение.

1. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, А – данная точка;

2. А → Аґ, Аґ

О1А;

3. А → Аґґ, Аґґ

О2А;

4. А, Аґ, Аґґ

щ (О, ОА);

щ (О, ОА) – искомая окружность (рис. 8).

Рис. 8

Доказательство. Окружность, проходящая через три взаимноинверсные точки, ортоганальна двум данным окружностям. А, Аґ, Аґґ - взаимноинверсные точки.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 9. Зная радиус инверсии, расстояние двух точек А иВ от центра инверсии и расстояние АВ, вычислить расстояние между точками Аґ и Вґ, соответственно инверсными точкам А и В.

Анализ. щ (О,R) – базисная окружность, А и В – данные точки. ОА = а, ОВ = b, АС = с. При инверсии точка А преобразуется в точку Аґ, В преобразуется в Вґ.

Из подобия треуголиников ОАВ и ОАґВґ следует, что

, АґВґ = ; ОАґ ОА = R2; ОАґ = , АґВґ = (рис. 9).

Рис. 9

Доказательство. Доказательство следует из свойств взаимноинверсных точек А и Аґ, В и Вґ и подобия

ОАВ и ОАґВґ.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 10. Даны окружность щ1 (О1, R1) и прямая l. Построить окружность инверсии щ (О, R), относительно которой щ1 (О1, R1) и прямая l были бы взаимноинверсны.

Анализ. щ1 (О1, R1) – данная окружность, l – данная прямая. m – произвольная прямая, m

l. А m, А l.

При инверсии точка А преобразуется в точку Аґ, Аґ

щ1, Аґ = щ1 m. l ║lґ, lґ m, lґ А. О = m щ1, В = щ2 (О2, ) lґ.

ОВ – радиус искомой окружности инверсии.

Построение.

1. щ1 (О1, R1) – данная окружность, l – данная прямая;

2. m

l, m – произвольная прямая, m l = А, m щ1 = О;

3. l ║lґ, lґ

m, Аґ lґ;

4. щ2 (О2,

);

5. В = щ2

lґ;

6. щ (О, ОВ) – искомая окружность (рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. Так как по условию щ1 (О1, R1) и прямая l взаимноинверсны, то щ1 (О1, R1) проходит через центр окружности инверсии, значит взяв произвольную точку А

l, мы должны построить касательную к искомой окружности в точке В. АґВ О1Аґ, О1А, Аґ принадлежит одной прямой m.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 11. Дана окружность щ (О, R) и

АВС, где А, В, С щ. Построить фигуру, инверсную вписанному треугольнику АВС.

Анализ.

АВС – данный треугольник, А, В, С щ (О, R). При инверсии точки, принадлежащие базисной окружности преобразуется в себя, то есть А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ. Прямая, не проходящая через центр инверсии преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, то есть АВ преобразуется в дугу АmВ окружности г1, ВС преобразуется в дугу ВnС окружности г2, АС преобразуется в дугу АkС окружности г3. таким образом АВС преобразуется при инверсии в три дуги.

Построение.

1. щ (О, R) – базисная окружность,

АВС, А,В,С щ;

2. А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ;

3. АВ → АmВ, АmВ

г1 (О, R1),

ВС → ВnС, ВnС

г2 (О, R2),

АС → АkС, АkС

г3 (О, R3);

4. АґmВґnCґkAґ - искомая фигура (рис 11).

Доказательство.

Доказательство следует из анализа.

Исследование.

Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Рис 11

Задача 12. Даны точка О и две не проходящие через нее прямые а и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадрату данного отрезка.

Анализ. Пусть точка О – данная точка, а и b – данные прямые, ОВ - искомый луч, такой что ОА

ОВ = r2, где r – данный отрезок.

Инверсия относительно окружности щ (О, r) переведет точку А в точку В, а прямую а – в некоторую окружность г, проходящую через точку В. Таким образом, В ≡ г

b.

Построение.

1. щ (О,r) – базисная окружность;

2. а → г;

3. В ≡ г

b;

4. ОВ – искомый луч (рис 12).

Доказательство.

Пусть А = ОВ

а, тогда А – прообраз точки В в инверсии относительно щ (О, r), так как прямая а – прообраз окружности г, то по определению инверсии ОА ОВ = r2.

Исследование.

1. Если г

b, то задача имеет два решения;

2. Если окружность г касается b, то задача имеет одно решение;

3. Если г не пересекается с b, то решений нет.

Заключение

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Задачи на построение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретают много полезных чертежных навыков.

В данной работе было рассмотрено понятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи на построение, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Также в дипломной работе рассмотрена задача Аполлония, решение которой и является основой метода инверсии, приведены примеры решения задач на построение с помощью инверсии. В приложении дипломной работы представлены решения некоторых более сложных задач.

Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 8 классе, т. к. в 7 классе были изучены основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсе планиметрии практически нет времени.

Геометрические построения в настоящее время не связаны непосредственно с наиболее актуальными проблемами математики. Но в процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса. Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют также особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.