Инверсия и ее применение (стр. 4 из 9)

Пусть через точку М проходят две линии г1 и г2. предположим, что существует единственная касательная к каждой из этих линий в точке М. пусть при инверсии точка м преобразуется в точку М′, а линии г1 и г2 соответственно в линии г1′ и г2′. Оказывается, что угол между линиями г1′ и г2′ в точке М′ равен углу между линиями г1 и г2 в точке М.

Лемма. Если при инверсии относительно окружности щ (О, r) точка М и проходящая через нее линия г преобразуется в точку М′ и линию г′, то линии г и г′ в этих точках образуют с прямой ОМ равные углы.

Рис. 26

Доказательство. Пусть Р (рис. 26) – произвольная точка на линии г, Р′ - ей инверсная точка; тогда Р′ лежит на г′.

Соединим М с Р, М′ с Р′. В силу леммы об антипараллельных прямых ∟ММ′Р′ = ∟МРО или ∟ММ′Р′ = ∟М′МР - ∟МОР… (1).

Пусть при неограниченном приближении точки Р вдоль линии г к точке М секущая МР стремится к положению МА, так что МА - касательная к линии г в точке М. Пусть ∟М′МА = ц. Тогда

lim∟М′МР = ц.

P → M

В то же время, когда Р стремится к М вдоль линии г, угол МОР стремится к нулю. Поэтому, в силу равенства (1), угол ММ′Р′ также стремится к определенному пределу, равному ц. Таким образом, когда Р стремится к М вдоль линии г (и, следовательно, Р′ стремится к М′ на линии г′), секущая М′Р′ стремится к некоторому предельному положению М′А′. А′М′ - касательная к г′ в точке М′ (по определению касательной). Мы видим, что ∟ММ′А′ = ц. Лемма доказана.

Теорема. Если две линии г1 и г2 и точка их пересечения М преобразуются в некоторой инверсии соответственно в линии г1′ и г2′ и точку М′, то угол между линиями г1 и г2 в точке М равен углу между линиями г1′ и г2′ в точке М′.

Рис. 27

Доказательство. Пусть а1 и а2 – касательные к г1 и г2 в точке М, а1′ и а2′ - касательные к г′1 и г′2 в точке М′ (рис. 27).

Будем предполагать, что ни одна из прямых а1 и а2 не совпадают с прямой ОМ, где О – центр инверсии; в противном случае доказательство только упрощается. Прямой ММ′ плоскость разбивается на две полуплоскости. Выберем в одной из них на каждой прямой а1, а2 и а′1, а′2 по одной точке: А1 и А2; А1′ и А2′. В силу леммы

∟М′МА1 = ∟ ММ′А1′ (2)

∟М′МА2 = ∟ ММ′А2′ (2′).

Пусть для определенности ∟М′МА2 < ∟М′МА1, отсюда ∟А2МА1 = ∟М′МА1 - ∟М′МА2 и ∟ А2′М′А1′ = ∟ ММ′А1′ - ∟ ММ′А2′ , так что в силу равенств (2) и (2′) ∟А1′М′А2′ = ∟А1МА2. Теорема доказана.

Следствие. Если две линии касаются в некоторой точке, отличной от центра инверсии, то при инверсии они преобразуются в две линии, которые касаются в соответственной точке.

1.8 Инверсия и осевая симметрия.

Можно установить далеко идущую аналогию в свойствах инверсии и осевой симметрии. Для этого напомним некоторые свойства инверсии.

1. Инверсия сохраняет угол пресечения двух линий, меняя при этом его ориентацию.

2. Прямая, ортогональная базисной окружности, преобразуется в себя.

3. Базисная окружность преобразуется в себя.

4. Всякая окружность, ортогональная базисной, преобразуется в себя.

5. Всякая окружность или прямая преобразуется в окружность или прямую.

6. Две точки тогда и только тогда инверсны относительно некоторой базисной окружности, если они являются вершинами пучка окружностей, ортогональных к базисной.

Если в этих предложениях слово «инверсия» заменить словами «осевая симметрия», выражение «базисная окружность» - через «ось симметрии» и «инверсные точки» - через «симметричные точки», то получим свойства осевой симметрии.

Покажем, что в известном смысле осевую симметрию можно рассматривать как предельный случай инверсии. Пусть базисная окружность инверсии щ (О, r) проходит через точку А (рис. 28), так что ОА = r. Обозначим через а касательную к окружности щ в точке А.

Рис. 28

Пусть, деле, Р – некоторая данная точка, Рґ - инверсная ей точка относительно окружности щ. Представим себе, что центр инверсии неограниченно удаляется от точки А вдоль луча Ао, так что радиус инверсии ОА неограниченно возрастает.

В известном смысле можно говорить, что при этом окружность щ (О, r) неограниченно приближается к прямой а, «вырождается» в эту прямую. Оказывается, что при этом точка Рґ будет перемещаться по плоскости, неограниченно приближаясь к точке Р1, симметричной с точкой Р относительно прямой А. Докажем это.

Для определенности положим, что точка Р и точка О лежат по разные стороны от прямой а (рис. 28). Опустим из точки Р перпендикуляр РN на прямую а и перпендикуляр РL на прямую ОА. Пусть РN = р, РL = m. Из точки Рґ, инверсной точке Р относительно окружности щ (О, r), также опустим перпендикуляры РґF и РґК на прямые а и ОА. Нам нужно показать, что РґF→ р и РґК→ m, если r→ ∞. Действительно,

РґF = КА = r - ОРґ

Cosб = r – Cosб = r – =

= r -

= . Но

tgб =

, и поэтому

Sin2б =

= = = .

Следовательно, PґF =

= .

Отсюда видно, что РґF→ р, когда r→ ∞. С другой стороны, РґК = = ОРґ

Sinб = = = .

Отсюда ясно, что РґК→ m, когда r→ ∞.

Изложенные здесь изображения показывают, что целесообразно расширить понятие об инверсии так, чтобы можно было рассматривать осевую симметрию как специальный случай инверсии. Для этого условимся называть «окружностью в широком смысле слова» любую окружность и любую прямую. Тогда можно оба преобразования – инверсию и симметрию относительно прямой – объединить в одно понятие с помощью следующего определения. Точка Рґ называется обратной точке Р (или сопряженной точке Р) относительно окружности (в широком смысле) щ, если точки Р и Рґ являются вершинами пучка окружностей ортогональных к щ. Такое преобразование, при котором каждой точке Р сопоставляется сопряженная ей точка Рґ относительно окружности (в широком смысле) щ, назовем отражением от окружности щ. В том случае, когда щ является окружностью в узком (обычном) смысле, наше преобразование представляет инверсию относительно щ. Если же щ – прямая, то рассматриваемое преобразование является симметрией относительно этой прямой.

1.9 Инверсор

Существуют приборы с помощью которых можно без всяких вычислений и без привлечения обычных инструментов геометрических построений вычертить линию, инверсную любой данной линии.

Впервые инверсор был предложен французским капитаном Поселье в 1864 году. Этот прибор получил известность только через семь лет, когда он был зависимо от Поселье изобретен петербургским студентом Липкиным, видимо, под влиянием идей П. Л. Чебышева.

«Клетка Поселье», как принято называть этот инверсор, состоит из шести стержней, связанных шарнирами (рис. 29). Четыре из них составляют ромб PAQB. Остальные два стержня равны между собой, но каждый из них длиннее стороны ромба PAQB.

Обозначим РА через а, ОА через l, а разность l2 – a2 через R2. Предположим, что точка О закреплена на плоскости. Тогда при любом положении точки Р на плоскости точка Q будет ей инверсна относительно окружности щ (О, R). В самом деле: 1) Р и Q лежат на одном луче, исходящем из точки О, и 2) ОР

ОQ = (ОС - РС) (ОС + РС) = ОС2 – РС2 = (l2 – АС2) – (а2 – АС2) = l2 – а2 = R2.

Рис. 29

Когда точка описывает какую-нибудь линию г, точка Q описывает инверсную ей линию гґ. В частности, когда Р описывает окружность, проходящую через точку О, точка Q опишет прямую. Таким образом, инверсор Поселье позволяет преобразовать вращательное движение в прямолинейное. Если нужно преобразовать в инверсии окружность радиуса r, то к инверсору в точке Р шарнирно присоединяется стержень МР длины r. Если точки О и М закреплены неподвижно так, что стержни ОА и ОВ могут вращаться около точки О, а стержень МР - около точки М (рис. 30), то точка Р опишет дугу некоторой окружности, а точка Q – дугу инверсной ей окружности или прямолинейный отрезок (в случае, если ОМ = МР).

Рис. 30

Инверсор Гарта. Пусть четыре стержня связаны шарнирно так, как указано на рисунке 31. узлы А, В, С и Dявляются здесь вершинами равнобочной трапеции, причем АВ = СD = d, АD = СВ = l. Пусть О, Р, и Q три точки на этих стержнях, причем

= = . В таком случае точки О, Р и Q лежат на одной прямой, параллельной основанию трапеции АСDВ. Предположим, что точка О закреплена на плоскости, а четыре стержня как-то расположены на этой плоскости. Оказывается, что при любом расположении механизма произведение ОР ОQ постоянно.