Инверсия и ее применение (стр. 2 из 9)

Так как ∟АґХґВґ = ∟ОВґХґ - ∟ОАґХґ = ∟ОХВ - ∟ОХА = ∟АХВ =

, то отсюда вытекает, что отрезок АґВґ из точки Хґ виден под углом и, стало быть, точка Хґ лежит на окружности S, построенной на отрезке АґВґ как на диаметре. Поскольку точка Х на окружности К была выбрана произвольно, то Кґ - образ окружности К при инверсии ц – расположен на окружности S. Пусть Y – произвольная точка окружности S и Z – точка на луче ОY такая, что ОZ = . Очевидно, что точка Z переводится инверсией ц в точку Y. Далее, из соотношений

ОА

ОАґ = r2

ОВ

ОВґ = r2

ОZ

OY = r2

и леммы 1 вытекает, что ∟AZB = ∟OZB - ∟OZA = ∟OB′Y - ∟OA′Y =∟A′YB′ =

.

Следовательно, что точка Z лежит на окружности К. отсюда вытекает, что фигуры S и Кґ совпадают. Так как по построению концы диаметра окружности К – точки А, В – отличны от точки О, то окружность Кґ не проходит через точку О.

Построения , приведенные выше, дают возможность строить образ окружностей при инверсии с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

а) Окружность не проходит через центр инверсии. В этом случае проводим из точки О луч, который пересекает окружность К по диаметру АВ, для точек А и В строим их образы Аґ и Вґ. окружность Кґ - образ окружности К относительно инверсии ц – есть окружность, построенная на отрезке АґВґ как на диаметре (рис. 6).

Рис. 6

б) Окружность К проходит через центр инверсии. В этом случае согласно теореме 3 образ К есть прямая Кґ. из точки О проводим луч ОА (рис 7), который пересекает К по диаметру ОА. Для точки А строим ее образ – точку Аґ. Прямая, проходящая через точку Аґ перпендикулярно лучу ОА, и есть искомая прямая Кґ

Построение прямой Кґ значительно упрощается в двух случаях:

1) если окружность К пересекает окружность инверсии в двух точках В и С, то прямая Кґ совпадает с прямой ВС (рис. 8);

2) если К касается окружности инверсии, то Кґ есть касательная к окружности инверсии в точке касания К с окружностью инверсии (рис. 9).

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рассмотрим теперь вопрос о характере изменения углов между кривыми под действием инверсии ц. Как известно, углом между кривыми L1 и L2 в точке их пересечения называется наименьший из вертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке. Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми сохраняются. Ниже это предложение доказывается для окружностей и прямых.

Теорема 5. При инверсии ц угол между прямыми равен углу между их образами.

Доказательство. Здесь могут представиться 3 случая:

1) прямые l1 и l2 проходят через центр инверсии ц;

2) одна из прямых l1 и l2 проходит через центр инверсии;

3) ни l1 и l2 не проходят через центр инверсии.

В первом случае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим случаи 2) и 3). В случае 2) (рис. 10) будем считать для определенности, что прямая l1 проходит через центр инверсии - точку О. Тогда инверсия ц переводит прямую l1 саму в себя, т.е. образ прямой l1 совпадает с этой прямой. Прямая l2 не проходит через центр инверсии и потому переводится инверсией в некоторую окружность lґ2, проходящую через точку О. Касательная t к окружности lґ2 в точке О параллельно прямой l2.

Рис. 10

Относительно взаимного расположения прямых l1 и l2 могут представиться 2 возможности:

а) прямые l1 и l2 параллельны;

б) l1 и l2 пересекаются в некоторой точке А.

Если l1 и l2 параллельны, то угол между ними, очевидно, равен 0. Но прямая l1 проходит через точку О и параллельна l2 . Поэтому она необходимо будет совпадать с касательной t к окружности lґ2 в точке О. Отсюда следует, что угол между lґ1 и lґ2 равен 0 и, следовательно, утверждение теоремы в случае а) доказана.

Пусть теперь l1 и l2 не параллельны и А – точка их пересечения. Обозначим через б наименьший из вертикальных углов между l1 = lґ1 и прямой l2 или, что то же, прямой t. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку Аґ, в которой прямая lґ1 пересекается с окружностью lґ2. Но прямая lґ1 или, что то же, прямая ОАґ составляет с касательной tґ в точке Аґ к окружности lґ2 такие же вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюда немедленно следует, что угол между l1 и l2 в точке Аґ равен б.. случай 2) полностью доказан.

Рис. 11

Третий случай (рис. 11) доказывается аналогичными рассуждениями. Заметим только, что если прямые l1 и l2 параллельны, то соответствующие окружности lґ1 и lґ2 имеют в точке О общую касательную и составляют между собой нулевой угол. Отсюда угол между lґ1 и lґ2 равен углу между l1 и l2. Если же прямые l1 и l2 пересекаются, то, как видно из рис. 11, угол между окружностями lґ1 и lґ2 в точке О равен углу между прямыми l1 и l2, т. к. касательные t1 и t2 к этим окружностям в точке О параллельны прямым l1 и l2. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

Рассмотрим еще две теоремы без доказательства.

Теорема 6. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии.

Теорема 7. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии.

1.3 Лемма об антипараллельных прямых

Сначала рассмотрим вспомогательное понятие.

Пусть некоторая прямая a пересекает обе стороны некоторого угла (k, l) (рис. 12). В пересечении с какой–либо из сторон угла, например k, эта прямая образует четыре угла, из которых только один лежит внутри треугольника, отсекаемого прямой от угла (k, l).

Рис. 12

В дальнейшем, когда речь будет идти об угле между прямой и стороной угла, мы будем иметь в виду именно этот угол.

Пусть теперь две прямые (рис. 13) пересекают стороны угла, причем одна из них образует с одной из сторон угла такой же угол, какой вторая прямая образует с другой стороной угла (на рис. 13) ∟1 = ∟2.

Рис. 13

Легко понять, что когда и первая прямая образует со второй стороной угла такой же угол, какой образует вторая прямая с первой стороной угла ∟3 = ∟4.

Определение. Две прямые, пересекающие стороны некоторого угла, называются антипараллельными относительно этого угла, если одна из них образует с одной из его сторон такой же угол, какой образует другая прямая с другой его стороной.

Антипараллельными являются прямые a и b на рисунке 13, прямые с и d на рисунке 14, где с ┴ k и d ┴ l.

Антипараллельные прямые, вообще говоря, не параллельны. Исключение составляет только случай, когда обе прямые перпендикулярны к биссектрисе данного угла (рис. 15).

Рис. 14

Рис. 15

Теорема (лемма об антипараллельных прямых). Прямая, соединяющая две точки плоскости, и прямая, соединяющая две инверсные им точки, антипараллельны относительно угла с вершиной в центре инверсии и сторонами, проходящими через данные точки.

Доказательство. Пусть щ (О, R) базисная окружность, точки Аґ и Вґ (рис. 16) инверсны соответственно точкам А и В. Тогда ОА

ОАґ = ОВ ОВґ = R2, так что = . Кроме того, в треугольниках АОВ и ВґОАґ угол О общий. Следовательно, ∆АОВ подобен ∆ ВґОАґ и, значит, ∟ОВА = ∟ОА′В′.

Таким образом, прямые АВ и А′В′ антипараллельны относительно угла АОВ, что и требовалось доказать.

Если (рис. 16) каким-либо образом построены две соответственные в инверсии точки А и А′, то доказанная лемма дает простой прием построения образа произвольной точки В (не лежащей на прямой ОА): соединить В с А и провести прямую А′В′ так, чтобы ∟ОА′В′ = ∟ОВА.

Рис. 16

1.4 Степень точки относительно окружности

Понятие степени точки относительно окружности играет существенную роль и является аналогом понятия расстояния от точки до прямой.

Степенью точки М относительно окружности К называется число

s = d2 – r2 ,

где d – расстояние точки М от центра О окружности К, а r – радиус этой окружности. Если точка М лежит внутри окружности К, то d < r, и потому степень точки М: s = d2 – r2 – отрицательна. Величины r – d и r + d суть отрезки диаметра PQ, на которые его разбивает точка М. Поэтому для любой хорды АМВ круга К (рис. 17) имеем s = - АМ

МВ.