Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания (стр. 3 из 4)

Для упрощения системы (1) введем величины

так, что есть полная интенсивность поступления заявок в системы . Интенсивность состоит из интенсивности потока заявок, поступающих извне , и интенсивности поступления заявок в систему от других СМО, в том числе и от самой системы .

Поэтому

(2).

Из (2) получим

(3).

Соотношение (2) иногда называют законом сохранения потока заявок. Оно говорит о том, что интенсивность входящего потока заявок в i-тую СМО, i=1,...,n, в стационарном режиме равна интенсивности входящего потока заявок из этой системы.

Теорема1. (Джексона) Стационарное распределение может быть найдено в виде:

1.8 Нахождение решения для немарковского случая

Составив и решив систему дифференциально-разностных уравнений, найдется вид функции распределения

для случайного процесса

. Тогда можно найти и .

Так что нахождение функций

решит поставленную задачу.

2. Марковский случай

2.1 Описание модели

1

2.2 Сеть массового обслуживания

Дана открытая марковская сеть массового обслуживания, состоящая из трех подсистем. Состояние сети в момент времени t определяется вектором

число заявок в i-ой подсистеме в момент времени t. Входящий поток является пуассоновским потоком с параметром

. Времена обслуживания заявок в i-ой системе массового обслуживания распределены по показательному закону с параметром , зависящим от текущего числа заявок в i-ой системе, i=1,2,3.

Заявки поступают из общего потока заявок во второй узел и первый узел с вероятностями

и соответственно. После обслуживания во втором узле заявки поступают на третий узел. А после обслуживания на первом узле заявки поступают с вероятностью в третий узел либо с вероятностью в первый узел, либо с вероятностью в третий узел. После обслуживания на 3 узле заявки уходят из системы.

2.3 Уравнения равновесия

Предположим, что существует стационарное распределение

. Составим уравнение равновесия.

P

P + P +

+

P

+ P

+

+

P

+ P

+

+

P

2.4 Нахождение стационарных вероятностей

Для того, чтобы найти решение уравнения равновесия

, воспользуемся теоремой 1 из 1.7 из которой получим, что

,

-вероятность поступления заявок в i-ую подсистему.

Таким образом, нам необходимо найти

. Для этого воспользуемся соотношением (3) из 1.7

Из системы

получим

где -вероятности перехода

Матрица перехода имеет вид:

Тогда, получим

где Io - нулевой вектор.

Итак, стационарное распределение найдено с точностью до постоянного множителя P (Io).

2.5 Условия эргодичности

Для исследования эргодичности применим эргодическую теорему Фостера (теорема 1 из 1.1)

Теорема (Эргодическая теорема Фостера).

Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений

имеет нетривиальное решение

такое, что

При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим.

Рассмотрим условия этой теоремы.

Регулярность следует из того, что

. Неприводимость следует из того, что все состояния сообщаются с нулевым, то есть в любое состояние можно перейти из нулевого (0,0,0) путем поступления, перехода, обслуживания заявок.