Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2 (стр. 2 из 3)

Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).

Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.

Следствие 7:

Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель

(x–a):

f(x)=(x–a)q(x),

тогда бы он делился на (x–a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.

Применение теоремы

Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.

Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

· найти все целые делители свободного члена;

· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

· левую часть уравнения разделить на (x-a);

· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

· решить полученное уравнение.

Пример 1

Найти остаток от деления многочлена x³–3x²+6x–5

на двучлен x–2.

По теореме Безу:

R=f(2)=2³–3*2²+6*2–5=3.

Ответ: R=3.

Пример 2

При каком значении a многочлен x⁴+ax³+3x²–4x–4 делится без остатка на двучлен x–2?

По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12–8– 4=8a+16.

Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.

Ответ: a=-2.

Пример 3

При каких значениях a и b многочлен ax³+bx²–73x+102 делится на трёхчлен x²–5x+6 без остатка?

Разложим делитель на множители: x²–5x+6=(x–2)(x–3).

Поскольку двучлены x–2 и x–3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x–2 и на x–3, а это значит, что по теореме Безу:

R₁=f(2)=8a+4b–146+102=8a+4b–44=0

R₂=f(3)=27a+9b–219+102=27a+9b-117=0

Решу систему уравнений:

8a+4b–44=0 2a+b=11

27a+9b–117=0 3a+b=13

Отсюда получаем: a=2, b=7.

Ответ: a=2, b=7.

Пример 4.

При каких значениях aи b многочлен x⁴+ax³–9x²+11x+b

делится без остатка на трёхчлен x²–2x+1?

Представим делитель так: x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Данный многочлен делится на x–1 без остатка, если по теореме Безу:

R₁=f(1)=1+a–9+11+b=a+b+3=0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x–1:

_ x⁴+ax³–9x²+11x–a–3 x–1

x⁴–x³ x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3)

_(a+1)x³–9x²

(a+1)x³–(a + 1)x²

_(a–8)x²+11x

(a–8)x²–(a–8)x

_(a+3)x–a–3

(a+3)x–a–3

0

Частное x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3) делится на (x–1) без остатка, откуда

R₂=f(1)=1+(a+1)*1+(a–8)*1+a+3=3a–3=0.

Решусистемууравнений:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a – 3 = 0 a = 1

Изсистемы: a=1, b=-4

Ответ: a=1, b=-4.

Пример 5

Разложить на множители многочлен f(x)=x⁴+4x²–5.

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x–1) без остатка:

f(x)/(x–1)=x³+x²+5x+5, значит f(x)=(x–1)(x³+x²+5x+5).

Среди делителей свободного члена многочлена x³+x²+5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x³+x²+5x+5 делится на (x+1) без остатка:

_x⁴+4x²–5 x–1 _x³+x²+5x+5 x+1

x⁴–x³x³+x²+5x+5 x³+x²x² +5

_x³+4x² _5x+5

x³–x² 5x+5

_5x²–5 0

5x²–5x

_5x–5

5x–5

0

(x³+x²+5x+5)/(x+1)=x²+5, значит x³+x²+5x+5=(x+1)(x²+5).

Отсюда f(x)=(x–1)(x+1)(x²+5).

По следствию 7 (x²+5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.

Ответ: x⁴+4x²–5=(x–1)(x+1)(x²+5).

Пример 6

Разложить на множители многочлен f(x)=x⁴+324.

f(x) корней не имеет, т.к. x⁴ не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.

Ответ: многочлен на множители не раскладывается.

Пример 7

Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.

По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x–4)²(x+2), значит:

f(x)/(x–4)²(x+2)=q(x), т.е.

f(x)=(x–4)²(x+2)q(x),

f(x)=(x²–8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x³–8x²+16x+2x²–16x+32)q(x),

f(x)=(x³–6x²+32)q(x).

(x³–6x²+32) - кубический многочлен, но по условию f(x) – также кубический многочлен, следовательно, Q(x) – некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x³–6x²+32.

Ответ: x³–6x²+32.

Пример 8

Решить уравнение x⁴+3x³-13x²-9x+30=0.

30

1; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x³+5x²-3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x²-3)=0

_x⁴+3x³-13x²-9x+30 x-2

x⁴-2x³ x³+5x²-3x-15

_5x³-13x²

5x³-10x²

_-3x²-9x

-3x²+6x

_-15x+30

-15x+30

0

Ответ: x₁=2,x₂=-5,x_3,4=

.

Пример 9

Решить уравнение x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12=0.

Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, что по следствию 4 оно имеет не более 6 корней уравнения.

-12

1; 2; 3; 4; 6; 12.