Измеримые функции (стр. 2 из 5)

Теорема 7. Если функция f(x), заданная на множестве Е, измерима, а kконечное число, то измеримы и функции 1) f(x) + k, 2) kf(x), 3) çf (x)ç, 4) f² (x), и если f(x) ¹0, то измерима и функция 5)

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Измеримость функции f(x) +k вытекает из соотношения Е (f+k>a) = E (f>a- k).

2) Измеримость функции kf(x) при k =0 следует из теоремы 5. Для прочих kизмеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция çf(x) ç измерима потому, что

4) Аналогично, из того , что

E (f² > a) =

вытекает измеримость функции f ² (x).

5) Наконец, при f(x) ¹ 0 имеем

> a) =

откуда и следует измеримость

.

Теорема 8.Функция f(x), заданная и непрерывная на сегменте Е=

, измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

F = E (f£ a)

замкнуто. Действительно, если x₀ есть предельная точка этого множества и x_n®x₀ (x_nÎF ), то f(x_n) £aи, в силу непрерывности f(x), будет f(x₀ ) £a, т.е. x₀ ÎF, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(f£а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция jм (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9.Множество М и его характеристическая функция j_м одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция j_M (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

М = Е (jм > 0).

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции j_М (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.

Дальнейшие свойства измеримых функций

Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f(х) и g(х), то множество Е (f >g) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r_1, r₂, r₃, …, то легко проверим справедливость соотношения

Е (f > g) =

Е (f > r_k) Е (g < r_k),

откуда и следует лемма.

Теорема 1. Пусть f(х) и g(х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f(х) – g(х), 2) f(х) + g (х), 3) f(х) ^.g(х), и если g(х) ¹ 0, то измерима также функция 4)

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g(х) измерима при любом а. Значит (на основании леммы), множество Е (f > а+g), а так как E(f-g>a)=E(f>a+g), то измерима функция f (х) – g(х).

2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что

f(х) + g(х) = f(х) – [ - g (х)].

3) Измеримость произведения f(x) ^.g(x) вытекает из тождества

f(x) ^.g(x)=

{[f(x)+g(x)] -[f(x)-g(x)] }

и теоремы 7

4) Наконец, измеримость частного

есть следствие тождества

=f(x) · .

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2.Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f₁(x), f₂(x), … Если в каждой точке х

Е существует (конечный или бесконечный) предел

F(x)=

f_n(x),

то функция F(х) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества

А =Е(f > a + ), В = .

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

E(F>a) =

.

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть х

Е (F>a), тогда F (x₀) > a, и найдется такое натуральное m, что F(x₀) > a + 1/m. Поскольку же f_k (x) F (x₀), то найдется такое n, что при k nбудет

f_k(x₀) > a +

.

Иначе говоря, х₀

А при всех k n, а тогда х₀ В и тем более х₀ . Отсюда следует, что Е (F > a) .

Теперь остается установить обратное включение

E (F > a),

и теорема будет доказана.

Пусть х₀

. Тогда х₀ В при некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х₀ А для k n. Иначе говоря для k n будет f_k(x₀) > a+1/m.

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x₀)>a, т.е. x₀ ÎE (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f₁(x), f₂(x), … и некоторая функция F(x). Если соотношение

(a)