Измеримые множества (стр. 6 из 6)

Соотношения Е+А=D, ЕА=0 дают, что

j (E)+j (А)= j ( D), j (Е) ·j (А)=0,

так что j (Е) есть дополнительные множества j (А) относительно интервала j (D).Отсюда, в силу теоремы 7,

m* j (А)+m_*j (Е)=mj (D)

и, на основании уже доказанной части теоремы и теоремы 4,

m* А+m_* j (Е)=mD.

Значит m_*j (Е)=mD-m* (C_DЕ), и снова применяя теорему 7, мы находим, что

m_*j (Е)=m_* Е.

Следствие. При движении измеримое множество переходит в измеримое множество той же меры.

Определение 2. Множества А и В называются конгруэнтными, если существует движение, в котором одно из них переходит в другое.

С помощью этого термина доказанные результаты можно высказать в такой форме.

Теорема 8.Конгруэнтные множества имеют одинаковые внешнюю и внутреннюю меры. Множество, конгруэнтное измеримому множеству, измеримо и имеет ту же меру.

Класс измеримых множеств.

Мы изучали свойства самых измеримых множеств, здесь же мы остановимся на некоторых свойствах всего класса измеримых множеств.

Теорема 1. Всякое ограниченное счетное множество измеримо и мера его равна нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ограниченное множество Е состоит из точек х_1, х_2, х_3, …

Обозначим через Е_k одноэлементное множество, состоящее из точки х_k. Очевидно Е_kесть измеримое множество меры нуль, и теорема следует из равенства

и теоремы 4.

Как показывает пример канторова совершенного множества Р₀, доказанная теорема не допускает обращения.

Определение 1. Если множество Е представимо в форме суммы счетного множества замкнутых множеств

то говорят, что Е есть множество типа F_s.

Определение 2. Если множество Е представимо в форме пересечения счетного множества открытых множеств

,

то говорят, что Е есть множество типа G_d.

Из теорем 9 и 10 следует

Теорема 2. Всякое ограниченное множество типа F_sили G_dизмеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Относительно множества типа F_sэто очевидно, ибо из ограниченности суммы множеств вытекает ограниченность слагаемых, а так как последние замкнуты, то и измеримы.

Если Е есть ограниченное множество типа G_d, то обозначив через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е, мы сможем представить Е в форме пересечения измеримых множеств

, после чего измеримость множества Е становится очевидной.

Определение 3. Если множество Е может быть получено, исходя из замкнутых и открытых множеств, с помощью применения конечного числа или счетного множества операций сложения и пересечения, то множество Е называется борелевым множеством. Ограниченное борелево множество называется измеримым (В).

Например, множества типа F_s и типа G_d суть борелевы множества.

Рассуждая как при доказательстве теоремы 2, установим, что верна следующая теорема.

Теорема 3. Множество, измеримое (В), измеримо (L).

Обратная теорема неверна: существуют примеры множеств измеримых (L) и неизмеримых (В). Первый эффективный пример такого множества был построен безвременно умершим московским математиком М.Я. Суслиным (1894-1919). Суслин открыл чрезвычайно важный и обширный класс так называемых А-множеств, каждое из которых (при условии ограниченности) измеримо (L). Этот класс содержит в себе класс всех борелевых множеств, но существенно шире его.

Интересно выяснить, существуют ли вообще ограниченные множества неизмеримые (L)? Прямым счетом этого вопроса решить нельзя, как показывает следующая теорема.

Теорема 4. Множество М всех измеримых множеств имеет ту же можность, что и множество всех точечных множеств, т.е. 2^с.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего ясно, что

2^с.

С другой стороны, возьмем какое-либо измеримое множество Е меры нуль и мощности с (например канторово множество Р₀) и обозначим через S множество всех его подмножеств. Так как всякая часть множества меры нуль также имеет внешнюю меру нуль и, стало быть, измерима, то SÌM, а поскольку

= 2^с, то ясно, что

2^с.

Теорема доказана.

Тем не менее, имеет место следующая теорема.

Теорема 5.Существуют ограниченные неизмеримые множества.

Для доказательства этого факта приведем следующий пример.

Пример неизмеримого множества. Разобьем все точки сегмента [-1/2, +1/2] на классы, относятся две точки x и у в один класс, тогда и только тогда, когда разность их х - у есть число рациональное. Это можно сделать следующим образом: соотнесем каждой точке хÎ[-1/2, +1/2] класс K (х), состоящий из тех точек сегмента [-1/2, +1/2], которые имеют вид х + r, где r-рациональное число. В частности х Î K(х).

Покажем, что р а з л и ч н ы е классы K(х) и K(у) не пересекаются между собою. Действительно, предположим, что они пересекаются и пусть zÎK(х)K(у). Тогда z=х + r_х=у + r_у, где r_х иr_у рациональные числа, откуда

у = х + r_х - r_у, где r_x и r_у рациональные числа, откуда у = x+r_x-r_у.

Теперь, если tÎK(у), то

t= у + r=x+ (r_x-r_у + r) =x+r’,

так что tÎK(x) и K(у) Ì K(x). Аналогично мы установим, что K(x) Ì K(у) и тогда окажется, что K(x) =K(у), т.е. K(x) и K(у) представляют собою один и тот же класс, вопреки предположению, что это различные классы.

Множество всех построенных таким образом классов и дает нам требуемое разбиение.

Сделав это, выберем из каждого класса по одной точке и обозначим через А множество выбранных точек.

Множество А неизмеримо.

Чтобы доказать это, перенумеруем все рациональные точки сегмента [-1, +1]:

r_о= 0, r₁, r₂, r_3, …

и обозначим через А_k множество, получаемое из множества А сдвигом

j_k (x) =x+r_k.

(Иначе говоря, если xÎA, то x+r_kÎA_k, и если xÎA_k, то x-r_kÎA).

В частности, А₀= A. Все множества А_k конгруэнтны друг с другом, а потому (теорема 8)

m_*A_k=m_*A=a, m_*A_k=m*A=b (k= 0, 1, 2, …).

Убедимся, что

b> 0. (1)

Для этого заметим, что

[-

, + ] . (2)

Действительно, если х Î [-

, + ], то х попадает в один из классов произведенного выше разбиения. Если представитель этого класса в множестве A есть х_0, то разность х - х ₀ есть число рациональное и притом, очевидно, принадлежащее сегменту [-1, +1], откуда х - х ₀ = r_kи х Î A_k. Итак, (2) доказано.

Но тогда (теорема 5):

1=m*[-

, + ] £m*[ ] £ ,

т. е.

1£b + b + b + ...,

откуда следует (1).

С другой стороны, легко показать, что

a=0. (3)

Для этого прежде всего убедимся, что при n¹ m

AnAm=0. (4)

В самом деле, если бы точка z входила в A_nA_m, то точки х_n=z-r_n, х_m=z-r_mбыли бы (очевидно, различными) точками множества A, т.е. представителями двух различных классов, чего быть не может, ибо их разность х_n-х_m=r_m-r_n есть число рациональное. Итак, (4) доказано.

С другой стороны, легко увидеть, что при любом k

A_kÌ [-

, + ]

( ибо, если хÎA_k, то x= x₀+r_k, где ÷ х₀½£ 1/2, ½r_k½£ 1), так что

Ì [- ,+ ]. (5)

Из (5) и (4), в силу теоремы 6 следует, что

3=m_*[-

, + ] ³ m_*[ ] ³ ,

откуда

a+a+a+… £ 3 и a=0

Сопоставляя (1) и (3), получим m_*А<m*А, что и доказывает неизмеримость множества А.

Замечание. Если бы мы с самого начала разбили на классы не сегмент [-1/2, +1/2], а произвольное измеримое множество Е положительной меры, то, буквально повторяя проведенное рассуждение, пришли бы к неизмеримому множеству А Ì Е. Итак, всякое множество положительной меры содержит неизмеримую часть.