Рис.3
ИзгибаемыемногогранникиКоннелли – это изгибаемые многогранники, которые не имеют самопересечений (т. е. являются вложенными в пространство). Основная идея — попытаться построить изгибаемый многогранник, устранив самопересечения в октаэдрах Брикара. Рассмотрим изгибаемый октаэдр Брикара первого типа, у которого грани дважды покрывают прямоугольник ABCD(рис. 3); L— точка пересечения диагоналей прямоугольника, через которую перпендикулярно к плоскости чертежа проходит ось симметрии l четырёх-звенника ABCD. Сначала сведём к минимуму возможные самопересечения. Для этого в четырёхгранном угле NABCDзаменим каждую грань тремя боковыми гранями тетраэдров, обращённых вершинами вверх, оставив рёбра основания на своём месте в прямоугольнике, причём выберем расположения всех 12 граней так, чтобы они между собой не пересекались (для чего достаточно, чтобы вершины тетраэдров проектировались внутрь треугольников, которые они заменяют). Получим многогранник, составленный из четырёх тетраэдров без основания, как на рис. 4, и назовём этот многогранник «крышкой».
Рис.4
Аналогичным образом заменим грани четырёхгранного угла SABCDтетраэдрами вершинами вниз и получим «дно» будущего многогранника (рис. 5).
При изгибании четырёхгранных углов NABCDи SABCDих рёбра как-то перемещаются, и они автоматически определяют движения боковых граней построенных тетраэдров.
Рис.5
«Крышка» и «дно» склеены между собой по сторонам прямоугольника ABCD, и они вместе образуют замкнутый изгибаемый многогранник Q, состоящий из 24 боковых граней 8 тетраэдров. В отдельности на «крышке» и «дне» по построению самопересечений нет. Боковые грани и рёбра тетраэдров «крышки» и «дна» располагаются по разные стороны от общей плоскости их оснований, поэтому они тоже не пересекаются. Но рёбра на основании тетраэдров остались те же, что были в прямоугольнике на рис. 3. Видно, что есть всего две точки самопересечения — точки a и b. Наша задача — убрать эти самопересечения. В многограннике Qсамопересечение выглядит как на рис. 6, т. е. фактически оно является самокасанием: в точке a касаются рёбра двух двугранных углов. Коннелли сумел изменить один двугранный угол в окрестности точки a так, чтобы исчезло самокасание, а новые элементы конструкции изгибались согласованно с изгибанием изменённого двугранного угла, состоящим в непрерывном изменении раствора двугранного угла.
Рис.7
Для этого рассмотрим октаэдр Брикара второго типа. Пусть дан самопересекающийся плоский четырёхзвенный механизм ABCDс равными противоположными сторонами AB = CD, BC=AD(рис. 7). Легко показать, что вершины этого четырёхугольника являются вершинами равнобочной трапеции, поэтому вокруг ABCDможно описать окружность. Центр O и радиус R окружности зависят от a = ZABC. Четырёхзвенник ABCDможет изменять свою форму с сохранением длин своих сторон (т. е. он может изгибаться), оставаясь на плоскости и имея сторону DCв неподвижном положении. При этом в новых положениях вершины четырёхугольника по-прежнему будут вершинами равнобочной трапеции и новое положение центра O(a) описанной окружности и её радиус R(a) при изгибании четырёхугольника ABCD на плоскости изменяются непрерывно вместе с a. Возьмём теперь над и под точкой O(a) две точки N и S на одинаковом расстоянии h(a) от O(a) (можно и на разных расстояниях, с соответствующими изменениями в дальнейших рассуждениях), таком, чтобы R2(a) + h2(a) = d2 = const и соединим N(a) и S(a) отрезками длины dс точками A(a), B(a), C и D. После «обшивки» каркаса плоскими треугольниками получится октаэдр P, у которого есть плоскость симметрии, проходящая через точки N и S перпендикулярно прямой AC, т. е. мы получили октаэдр Брикара второго типа. Его изгибания определяются изгибаниями плоского четырёхзвенногомеханизма ABCD. Удалим из P две грани, дающие самопересечения: NDCи SDC. Останется многогранник Р' с краем, изображённый на рис. 8. Хотя ребра CDи нет, в ходе изгибания многогранника Р' как части P расстояние CDостаётся постоянным, так как оно равно длине ребра CDв октаэдре P.
При этом же изгибании расстояние NS, равное 2h(a), изменяется, поэтому изменяется угол между плоскостями удалённых граней NDCи SDC, причём точки Dи C при этом можно считать остающимися на месте. Используем это обстоятельство для того, чтобы изменить двугранный угол на рис. 6, вставив туда соответствующим образом подобранный многогранник Р', который для краткости и большей ясности будем называть «зарубкой Коннелли». Пусть T — биссекторная плоскость, скажем, верхнего двугранного угла на рис. 6. Расположим четырёхзвенник ABCDна плоскости T так, чтобы отрезок DCшёл по ребру двугранного угла, отрезки NDи NCбыли на одной полуплоскости, а DSи CSбыли на другой полуплоскости двугранного угла. Части NDи NC, SDи SCкрая многогранника Р' — «зарубки Коннелли» — прилегают к соответствующим частям граней двугранного угла. Изменение величины b двугранного угла приводит к изгибанию многогранника Р', согласованному с движением граней двугранного угла, в который он был встроен (т. е. рёбра NDи NC, SDи SCкрая многогранника Р' не изменяют свою длину и остаются на гранях двугранного угла). Расположение точек Dи C на ребре двугранного угла может быть выбрано так, чтобы точка a оказалась на отрезке DC, не попадая, однако, на ребро AB, т. е. чтобы изменённый верхний двугранный угол на рис. 6 не касался нижнего двугранного угла. Такое же построение можно провести и в окрестности точки b — второй точки самокасания, причём размеры встроенного многогранника Р' можно подобрать так, чтобы в пределах некоторого изменения раствора двугранного угла не появились новые самопересечения. Таким образом получится изгибаемый многогранник без самопересечений с 26 вершинами.
Рис.10
Легко видеть, что эту конструкцию можно сразу же упростить, а именно, в исходном дважды покрытом прямоугольнике можно оставить на месте грани ANDи BSC(см. рис. 3), не заменяя их тетраэдрами, тогда получится изгибаемый многогранник с 24 вершинами.
Существенное упрощение получается, если в исходном октаэдре Брикара добавлять тетраэдры так, чтобы была необходимость использовать «зарубку Коннелли» только один раз, как это предложили П. Делинь и Н. Кёйпер. Делается это так. Отправным положением будет изгибаемый октаэдр Брикара первого типа, изображённый на рис. 9. На нём вершины A и C лежат на горизонтальной плоскости (условно с координатой z = 0), вершины В' и D' подняты на высоту е>0, а вершины N' и S' — на высоту 6>е и всё это проектируется ортогонально на прямоугольник рис. 3 (где Lпо-прежнему обозначает точку пересечения этого прямоугольника с вертикально расположенной осью симметрии рассматриваемого октаэдра). В новом положении ребро AS' проходит под ребром N'B', ребро N'C— под ребром S'D', так что прежних точек самопересечения нет, но есть новые пересечения граней. Построим теперь «дно» следующим образом: в исходном четырёхгранном угле S'AB'CD' с вершиной S' заменим грань S'CD' тетраэдром вершиной вниз (рис. 10). Краем построенного многогранника
Рис.11
является четырёхугольник AB'CD', но теперь есть «яма» в виде тетраэдра S0S'CD'. Далее строим «крышу» так. Над фигурой рис. 11 возьмём две точки T и K и построим неполные