Значение решения проблемы V постулата Евклида (стр. 1 из 2)

Министерство по науке и образованию Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Дальневосточный государственный гуманитарный университет

Институт математики физики и информационных технологий

Кафедра геометрии

Реферат

На тему:

«Значение решения проблемы V постулата Евклида»

Выполнила студентка ИМФиИТ

3 курса ОЗО

О.В.Крылик

Проверил: Доцент кафедры геометрии

Т.А.Тимошенко

ХАБАРОВСК 2008

Длительные неудачи разнообразных попыток вывести пятый постулат Евклида из остальных аксиом и постулатов евклидовой геометрии подготовили почву для принципиально иной постановки вопроса о проблеме параллельных линий. Происходило постепенное перерастание задачи доказательства пятого постулата в противоположную задачу: установления его логической недоказуемости. Сама природа вопроса наталкивала исследователей на поиски решения на других путях, иногда помимо их намерений или даже наперекор им.

Идея недоказуемости пятого постулата Евклида с начала XVIII века проявляется во всё более отчётливой форме и во всё более содержательном виде, пока не приводит к окончательному утверждению логической возможности новой геометрии, где пятый постулат Евклида не имеет места. К началу XIX века «проблема пятого постулата» Евклида настолько назрела, что была решена почти одновременно и независимо друг от друга несколькими различными лицами.

Возможно, что и сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на пятый постулат; Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.

Со времён Евклида до конца XIX столетия проблема пятого постулата являлась одной из самых популярных проблем геометрии. За этот период было предложено множество различных доказательств пятого постулата. Однако все они были ошибочны. Обычно авторы этих доказательств использовали какое-нибудь геометрическое утверждение, которое оказывалось столь наглядно очевидным, что проскальзывало в рассуждениях незаметно для самого автора. Вместе с тем попытка логически доказать такое утверждение, в свою очередь не опираясь на пятый постулат, всегда оканчивалась неудачей.

Конечно, подобные исследования не достигали намеченной цели, так как смысл проблемы заключался в освобождении евклидовой теории параллельных от специального постулата, и, таким образом, дело здесь было не в том, чтобы заменить пятый постулат другим утверждением, хотя бы оно и было весьма очевидным, а в том, чтобы доказать этот постулат, исходя из остальных постулатов геометрии.

Нужно заметить, впрочем, что многочисленные попытки доказательства пятого постулата, несмотря на их тщётность, привели к известным положительным результатам.

Характерными для периода зарождения идеи недоказуемости пятого постулата являются работы итальянского учёного монаха Джероламо Саккери (1667 – 1733), выпущенные им в свет в 1733 году под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен». Само название сочинения указывает на замысел Саккери: довести евклидову геометрию до логического совершенства, причём, конечно, имелось в виду в первую очередь устранить сомнения, связанные с пятым постулатом, путём его доказательства. С этой целью Саккери применяет метод доказательства от противного. В основе его рассуждений лежит изучение свойств четырёхугольника ABCD,

Где

= = и AB=CD. Эта фигура получила название «четырёхугольника Саккери» (хотя О. Хайам рассматривал эту фигуру ещё в XII веке). Рассматривая прямую MN, проведённую перпендикулярно к прямой AD через середину отрезка AD, путём перегибания чертежа по прямой MN легко убедиться, что эта прямая служит осью симметрии фигуры, так что

= и BN=CN.

Относительно равных углов ABC и DCB Саккери три логически возможных допущения:

= > (гипотеза тупого угла),

= = (гипотеза прямого угла),

= < (гипотеза острого угла).

Из «гипотезы тупого угла» Саккери выводит, что сумма углов треугольника равна

и, следовательно, сумма углов четырёхугольника равна , так что эта гипотеза противоречива (по его словам, «сама себя убивает») и должна быть отброшена.

Саккери устанавливает далее, что гипотеза прямого угла влечёт пятый постулат Евклида. Поэтому для доказательства пятого постулата остаётся только опровергнуть гипотезу острого угла. С этой целью Саккери далеко развивает систему следствий из этой гипотезы, стремясь прийти к противоречию. Несмотря на непривычность получаемых результатов, ожидаемое противоречие не возникает… В конце концов Саккери изменяет чувство строгости, характерное для его сочинения, он пускается в туманные заключения о бесконечно удалённых точках и без достаточного основания делает вывод, что «гипотеза острого угла противоречит природе прямой линии». Объективно Саккери пришёл к результату, противоречащему поставленной им цели: развивая следствия из гипотезы острого угла, он получил, не отдавая себе в этом отчёта, ряд предложений новой геометрии.

В ходе дальнейших исследований идеи новой, неевклидовой геометрии всё более определённо заявляют о праве на существование, их логическая правомерность выделяется всё рельефнее.

Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777) рассматривал четырёхугольник, три угла которого прямые. Относительно четвёртого угла он, подобно Саккери, рассматривает три логически возможных предположения (гипотезы).

Ламберт заметил, что гипотеза тупого угла реализуется на сфере, если рассматривать на ней дуги больших окружностей в качестве прямых.

В отличие от Саккери Ламберт отчётливо понимал, что гипотезу острого угла ему опровергнуть не удалось. По этому поводу он замечает: «Должна же существовать причина, почему она не поддаётся опровержению… Гипотеза острого угла влечёт за собой существование абсолютной меры длины. В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива… Я готов предположить, что она имеет место на какой-то мнимой сфере». Это предположение Ламберта в дальнейшем оправдалось самым замечательным образом.

Швейкарт (1780-1859, профессор права в Харьковском университете с 1812 по 1817 г.) и Тауринус (1794-1874) уже прямо рассматривают геометрию, где сумма углов треугольника не равна

. Швейкарт называет свою геометрию «астральной» (звёздной), желая этим, по-видимому, подчеркнуть, что он не считает её реально осуществимой в земных условиях. Тауринус строит свою «логарифмо-сферическую» геометрию на сфере мнимого радиуса.

Были и другие авторы, исследовавшие ту или иную сторону новых геометрических предположений, но их работы не составляли решительного шага в области оснований геометрии, не знаменовали сколь-нибудь значительного перелома в воззрениях на геометрию. Чтобы широко раскрыть систему новой геометрии, чтобы показать возможность существования какой-либо иной геометрии, помимо веками складывавшейся и утверждавшейся в общественном сознании евклидовой геометрии, нужно было достигнуть в новой геометрии такой же стройности и законченности.

Среди работ, посвящённых новой геометрии, выделяется работа, известная под названием «Аппендикс», написанная венгерским математиком Яношем Бояи в 1832 году. Отец Яноша, Фаркаш Бояи, всю жизнь занимался доказательством пятого постулата Евклида, но, конечно, не достиг цели. Будучи разочарованным в этой проблеме, он убедительно и страстно отговаривал сына от занятий теорией параллельных. «Молю тебя, не делай и ты попытку одолеть теорию параллельных. Ты затратишь на это всё своё время… Я изучил все пути до конца. Я не встретил ни одной идеи, которая бы не была разработана мною. Я прошёл весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту тему, страшись её. Этот беспросветный мрак… никогда не проясниться на земле…» - писал он сыну. Но молодой Бояи пошёл другим путём: он строил геометрию, «излагающую абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности пятого постулата Евклида». И уже в 1828 году, в возрасте 21 года, он писал отцу: «Я получил… замечательные результаты… из ничего я создал целый мир». И действительно, небольшое сочинение Я.Бояи, увидевшее свет только в 1832 году, содержит довольно развитое и систематическое изложение основ новой геометрии. Но это сочинение осталось в своё время незамеченным, не было понято современниками Бояи.