Під розв'язком рiвняння (2) розумiтимемо функцiю $u \in C^1((0,T], {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})$, яка задовольняє рiвняння (2).
Символом $G(t, \sigma)$, $t \in (0, T]$, $\sigma \in \R$, позначимо обернене перетворення Бесселя функції $\exp\{-ta(x)\}$, $t \in (0, T]$, $x \in \R$, тобто $$ G(t, \sigma) = c_{\nu} \intl_{0}^{\infty} e^{-ta(x)} j_{\nu}(\sigma x) x^{2\nu+1} dx, \quad \sigma \in \R,\ \ t \in (0, T]. $$
Зазначимо, що $G$\,-- парна функція аргументу $\sigma$ при фіксованому $t \in (0,T]$ і нескінченно диференційовна по $\sigma$. Основні властивості функції $G$ описують наступні твердження.
Теорема 3.1.При кожному $t > 0$ $G(t, \sigma)$, як функція аргументу $\sigma$, є елементом простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Для функції $G$ та її похідних правильними є оцінки: $$|D_{\sigma}^{m} G(t, \sigma)| \leq \alpha_mt^ {[\gamma] /\gamma} (t^{1/\gamma} + |\sigma|)^{ -(m+1+\tilde \gamma_0)}, \quad m \in \Z_+, \tilde \gamma_0 = [\gamma] + p_0,$$ де стала $\alpha_m$ не залежить від $t$.}
Теорема 3.2. $G(t, \cdot) \to \delta$ при $t \to +0$ у просторі $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$.
Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$ позначимо сукупність усіх узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, які є згортувачами у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Лема 3.1.Нехай $f \in({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$, $\omega(t, x) = (f*G)(t, x)$, $(t, x) \in (0, T] \times \R.$ Тоді граничне співвідношення $\omega(t,\cdot) \to f$, $t \to +0$, виконується у просторі $({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$.
Зауваження 3.1.Надалі функцію $G(t, \cdot)$ називатимемо фундаментальним розв'язком задачі Коші (ФРЗК) для рівняння (2).
Теорема 3.3.Функція $G(t, \cdot)$, $t \in (0, T]$, як абстрактна функція параметра $t$ із значеннями у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, диференційовна по $t$.
У підрозділі 3.2 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторах узагальнених функцій $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$.
Лема 3.1 дозволяє поставити задачу Коші для рівняння (2) так. Для (2) задамо початкову умову $$u(t, \cdot)|_{t = 0} = f, \eqno(3) $$ де $f\in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$. Під розв'язком задачі Коші (2), (3) розумiтимемо розв'язок рівняння (2), який задовольняє початкову умову (3) у тому сенсі, що $u(t, \cdot) \to f$ при $t \to +0$ у просторі $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Правильним є наступне твердження.
Теорема 3.4.Задача Кошi (2), (3) коректно рзв'язна вкласi узагальнених функцiй $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$. Розв'язок подається у виглядi згортки $$u(t, x) = (f*G)(t, x), \quad f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)',\ \ (t, x)\in \Omega_+, $$ де $G$\,-- ФРЗК для рівняння (2).
Для розв'язку задачі Коші (2), (3) справедливий принцип локалізації (властивість локального посилення збіжності).
Теорема 3.5.Нехай $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, $\omega(t, x) = (f*G)(t, x)$, $(t, x) \in (0, T] \times \R. $ Якщо $f = 0$ на інтервалі $(a, b) \subset \R$, який містить точку 0, то $\omega(t, x) \to 0$ при $t \to +0$ рівномірно на довільному відрізку $[-c, c] \subset (a, b).$
Символом ${\mathop{M}\limits^{\circ}}_{\Phi}$ позначимо клас усіх мультиплікаторів у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Теорема 3.6.Нехай $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$, $u(t, x)$\,-- розв'язок задачі Коші (2), (3), побудований за функцією $f$. Якщо узагальнена функція $f$ збігається на інтервалі $(a, b) \subset \R$, який містить точку 0, з функцією $g \in {\mathop{M}\limits^{\circ}}_{\Phi}$, то $u(t, x) \to g(x)$ при $t \to +0$ на довільному відрізку $[-c, c] \subset (a, b)$.
У підрозділі 3.3 аналогічні результати одержані у випадку, коли оператор $A$ діє по $n$ змінних як псевдо диференціальний оператор, а по $(n+1)$-ій змінній як псевдо-Бесселевий оператор.
У розділі 4 дослiджується коректна розв'язнiсть доточкової задачi в класi крайових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Вивчається властивiсть локалiзацiї розв'язкiв.
У підрозділі 4.1 вивчаються властивостi фундаментального розв'язку двоточкової задачi.
Нехай $x = (x', x_{n+1})$, $x' = (x_1, \dots, x_n) \in \R^n$, $x_{n+1} \in \R_+$, $\Omega_+ = (0, T] \times \R_+^{n+1}$, $T$ -- фіксоване додатне число, $\R_+^{n+1} = \R^n \times \R_+$, $k =(k', k_{n+1}) \in \Z_+^{n+1}$, $k' = (k_1, \dots, k_n) \in\Z_+^{n}$, $|k| = |k'| + k_{n+1}$, $|k'| = k_1 + \dots + k_n$, $D_x^{k} = D_{x'}^{k'} D_{x_{n+1}}^{k_{n+1}}$, $D_{x'}^{k'} = D_{x_1}^{k_1} \dots D_{x_n}^{k_n}$, $\gamma$\,-- фіксоване число з множини $(1, +\infty) \setminus \{2, 3, 4, \dots\}$, $\gamma'_0 = n + [\gamma]$, $\gamma_0 = 1 + [\gamma] + p_0$, $p_0 = 2\nu + 1 \in \N$, $\nu$\,-- фіксоване число з множини $\{3/2;5/2;7/2;\dots\}$, $M(x') = (1 + \|x'\|)$, $\tilde M(x_{n+1}) = 1 + |x_{n+1}|$.
Символом $\Phi\equiv\Phi(\R_+^{n+1})$ позначимо сукупність функцій $\varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n+1})$, парних по змінній $x_{n+1}$, які задовольняють нерівності $$ |D_x^k \varphi(x)| \equiv \left|\frac{\partial^{|k|} \varphi(x_1, \dots, x_{n+1})}{\partial x_1^{k_1} \partial x_2^{k_2} \dots \partial x_{n+1}^{k_{n+1}}}\right| \leq \frac{c_k}{M(x')^{\gamma'_0 + |k'|} \cdot \tilde M(x_{n+1})^{\gamma_0+k_{n+1}}},\ \ k \in \Z_+^{n+1}. $$
На елементах простору $\Phi$ визначена, є лінійною і неперервною операція перетворення Фур'є-Бесселя, яку позначатимемо символом $F_{D, B}$: $$ F_{D, B}[\varphi](\sigma): = \intl_{\R_+^{n+1}}\varphi(x',x_{n+1}) e^{-i(x', \sigma')} j_{\nu}(\sigma_{n+1} x_{n+1}) x_{n+1}^{2\nu+1} dx' dx_{n+1}, \ \ \varphi \in \Phi.$$
Нехай $A = F_{D, B}^{-1}[a \cdot F_{D, B}]$, де функція (символ) $a$ задовольняє умови вигляду 1)--3), сформульовані у підрозділі 3.1. Із властивостей перетворення Фур'є-Бесселя (прямого й оберненого) випливає, що $A$\,-- лінійний і неперервний оператор у просторі $\Phi$.
Розглянемо двоточкову задачу $$ \frac{\partial u}{\partialt}+Au=0, \hspace{0.3cm} (t,x)\in(0,T)\times\mathbb{R}_+^{n+1}\equiv \Omega_+, \eqno(4) $$ $$ \mu_1u(t,\cdot)|_{t=0}-\mu_2u(t,\cdot)|_{t=T}=\varphi,\ \ \mu_1>\mu_2>0. \eqno(5) $$
Введемо позначення $$ G(t,T,x)\equiv F_{D,B}^{-1}\left[\frac{\exp\{-ta(\sigma)\}} {\mu_1-\mu_2\exp\{-Ta(\sigma)\}}\right](x)= $$ $$ =(2\pi)^{-n}c_{\nu}\cdot\int\limits_{\mathbb{R}_+^{n+1}} \frac{\exp\{-ta(\sigma)\}}{\mu_1 -\mu_2 \exp\{-Ta(\sigma)\}} e^{-i(x^{\prime},\sigma^{\prime})} j_{\nu}(x_{n+1} \sigma_{n+1})\sigma_{n+1}^{2\nu+1}d\sigma^{\prime}d\sigma_{n+1}.$$
Для похідних функції $G(t,T,x)$ справджуються оцінки: $$ \left|D_x^mG(t,T,x)\right| \le \mu_2^{-1}c_m\cdot\sum\limits_{k=0}^{\infty} \mu^{-k-1}\times $$ $$ \times \frac{(t+kT)^{1+[\gamma]/\gamma}} {\left[(t+kT) ^{1/\gamma}+||x^{\prime}||\right]^{|m^{\prime}|+\gamma_0^{\prime}}\cdot\left[(t+kT)^{1/\gamma}+|x_{n+1}|\right]^{m_{n+1}+\gamma_0}},\m\in\Z_+^{n+1}. \eqno(6) $$
Зауваження 4.1. Iз оцiнок (6) похiдних функцi\"\i{} $G$ випливає, що при кожному $t\in(0,T)$ функція $G$, як функцiя аргументу $x$, є елементом простору $\Phi$.
Лема 4.1. Функцiя $G(t,T,\cdot)$, $t\in (0,T)$, як абстрактна функцiя параметра $t$ iз значенням у просторi $\Phi$, диференцiйовна по $t$.
Лема 4.2. ${G(t,T,\cdot)\longrightarrow\frac{\delta}{\mu_1-\mu_2}}$ {\it при$t\to +0$ у просторi} $\Phi^{\prime}$.
Лема 4.3. ${G(t,T,\cdot)\longrightarrow\frac{\delta}{\mu_1-\mu_2}}$ {\it при$t\to T-0$ у просторi} $\Phi^{\prime}$.
Надалi функцiю $G(t,T,x)$ називатимемо фундаментальнимрозв'язком двоточкової задачi (ФРДЗ) для рiвняння (4).
У підрозділі 4.2 досліджується коректна розв'язність двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторах узагальнених функцій $\Phi'$.
Основний результат цього підрозділу складає наступне твердження.
Теорема 4.1.Задача (4), (5) коректно розв'язна в класi узагальнених функцiй $\Phi_*^{\prime}$. Розв'язок подається у виглядi згортки: $$ u(t,x)=(\varphi*G)(t,x), \hspace{0.3cm} \varphi\in\Phi_*^{\prime},\, (t,x)\in \Omega_+, $$ де $G$\,-- ФРДЗ для рiвняння (4).
Для розв'язку двоточкової задачі справедливий принцип локалізації, аналогічний теоремам 3.5, 3.6.
У розділі 5 наведено основнi означення та твердження, що стосуються топологiчної структури просторiв типу $S$ та основних операцiй у цих просторах. Дослiджується коректна розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв.
У підрозділі 5.1 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу $S$ нескінченно диференційовних на $\R$ функцій, що задовольняють нерівності $ \left| x^k\varphi^{(m)}(x)\right|\le c_{km}$, $x\in\mathbb{R}$, $\{k,m\}\subset \mathbb{Z}_+$, де $\{c_{km}\}$\,-- деяка подвiйна послiдовнiсть додатних чисел, а також спряжених просторів типу $S^{\prime}$.
У підрозділі 5.2 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя дробового диференцiювання $(I-\Delta)^{\omega/2}$, $\omega>0$, $\omega\ne 2,4,6,...$, у випадку, коли початкова умова є узагальненою функцією із простору типу $ S^{\prime}$; при цьому знайдено оцінки ФРЗК, доведено, що розв'язок володіє властивістю локалізації.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
Дисертацiя присвячена розвитку теорiї задачi Кошi та доточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Такi рiвняння утворюють новий клас псевдодиференцiальних рiвнянь i є важливими з точки зору застосувань у теорiї параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь та рiвнянь з частинними похiдними, теорiї перетворення Фур'є-Бесселя.
У дисертацiйнiй роботi вперше одержано такi результати:
- доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}\Phi$, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцiй при перетвореннi Бесселя;
- доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу диференцiйовна (нескiнченно диференцiйовна) у просторi основних функцiй $\stackrel{o}\Phi$;
- дослiдженi властивостi перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$, згорток узагальнених функцiй з основними; знайдено умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$ та мультиплiкаторiв;
- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра $t$ iз значеннями у просторi $\stackrel{o}\Phi$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$;
- встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у класi згортувачiв $(\stackrel{o}\Phi_*)^{\prime}$ -- узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; при цьому розв'язок має вигляд $u(t,x)= (f*G)(t,x)$, $f\in(\stackrel{o}{\Phi}_*)^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T]$ належить до простору основних функцій $\stackrel{o}\Phi$, граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to +0$ iснує в просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; доведено, що розв'язок задачi Кошi володiє властивiстю локалiзацiї;
- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку доточкової задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором як абстрактної функцiї часового параметра, вивчена поведiнка ФРДЗ при наближеннi до гiперплощин $t=0$, $t=T$; встановлено коректну розв'язнiсть двоточкової задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою функцiєю типу розподiлiв; доведено, що розв'язок двоточкової задачi володiє властивiстю локалiзацiї.