Публiкацiї. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 12 працях, з них 3 – у наукових журналах, 3 – у збірниках наукових праць і 6 – у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України від 9.06.1999 р.
Структура i обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновку та списку використаних джерел, який містить 112 найменувань. Повний обсяг роботи становить 142 сторінки.
Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професору Городецькому Василю Васильовичу за допомогу при написанні роботи, корисні поради та цікаві ідеї.
ЗМICТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовується актуальність теми дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковими темами кафедри, де вона виконувалася, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення та апробація.
У першому розділі наведені основні результати, відомі на теперішній час стосовно задачі Коші та крайових задач для сингулярних та псевдодиференціальних параболічних рівнянь, зроблено огляд наукових праць, безпосередньо пов'язаних з дисертацією і з яких запозичуються методи досліджень та результати яких поширюються на більш загальні об'єкти.
У розділі 2 вивчаються властивості перетворення Бесселя функцій з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, досліджена топологічна структура простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}} =F_B[{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}]$, доведено, що операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна (нескінченно диференційовна) у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Досліджені властивості перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, згорток узагальнених функцій з основними. Знайдено умови, які характеризують клас згортувачів\,-- узагальнених функцій із простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ та мультиплікаторів.
У підрозділі 2.1 наведено означення та топологічна структура просторів $\Phi$ та ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Нехай $\gamma$\,-- фіксоване число з множини $(1; +\infty) \setminus\{2; 3; 4; \dots\}$, $\nu$\,-- фіксоване число з множини $\left\{{3}/{2}; {5}/{2}; {7}/{2}; \dots \right\}$, $\gamma_0:=$ $1 + [\gamma]+p_0$, $p_0 = 2\nu+1$, $M(x):= 1 + |x|$, $x \in \mathbb{R}$. Елементами простору $\Phi$, за означенням, є нескінченно диференційовні на $\mathbb{R}$ функції $\varphi$, які задовольняють нерівності $$ |D_x^k \varphi(x)| \leq \frac{c_k}{(1 + |x|)^{\gamma_0+k}}, \quad x \in \mathbb{R}, \, k \in \Z_+.$$
У $\Phi$ вводиться структура зліченно нормованого простору за допомогою норм: $$ \|\varphi\|_{p}:= \supl_{x \in\R}\left\{ \suml_{k=0}^{p} M(x)^{\gamma_0+k} |D_x^k \varphi(x)|\right\}, \quad \varphi \in \Phi, p \in \Z_+.$$
У просторі $\Phi$ визначені і неперервні операції зсуву аргументу та операція диференціювання.
Символом ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ позначатимемо сукупність усіх парних функцій з простору $\Phi$. Оскільки ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ утворює підпростір $\Phi$, то в ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ природним способом вводиться топологія. Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором, а його елементи\,-- основними функціями.
У підрозділі 2.2 наведені твердження, які стосуються основних властивостей перетворення Бесселя просторів ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
На функціях з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначене перетворення Бесселя $F_B$: $$ F_B[\varphi](\xi) = \intl_{0}^{\infty} \varphi(x) j_{\nu}(x \xi) x^{2\nu+1} dx, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $j_\nu$\,-- нормована функція Бесселя.
$F_B[\varphi]$\,-- парна, обмежена, неперервна на $\mathbb{R}$ функція. Інші властивості перетворення Бесселя наведено у вигляді наступних тверджень.
Твердження 2.1.Якщо $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то $F_B[\varphi]$\,-- нескінченно диференційовна на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ функція.
Твердження 2.2.У функції $D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\xi \neq 0$, $k \in \mathbb{Z}_+$, існують скінченні односторонні границі $\dst \liml_{\xi \to \pm 0} D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\varphi \in{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Твердження 2.3.Функції з простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}= F_B[\mathop{\Phi}\limits^{\circ}]$ задовольняють умову:} $$ \forall s \in \mathbb{Z}_+ \enskip \exists c_s > 0: \enskip \supl_{\xi \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} |\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi](\xi)| \leq c_s, \quad \forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}.$$
Твердження 2.4.$\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi] \in L_1(\mathbb{R})$, $s \in \mathbb{Z}_+ $, для довільної функції $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
На функціях $F_B[\varphi] \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$ визначене обернене перетворення Бесселя $$ \varphi(x) = F_B^{-1}[F_B[\varphi]](x) = c_{\nu} \cdot\intl_{0}^{\infty} F_B[\varphi](\xi) j_{\nu}(x \xi) \xi^{2\nu+1}d\xi,$$ де $c_{\nu} = (2^{2\nu} \Gamma^2(\nu+1))^{-1}$.
Твердження 2.5.Перетворення Бесселя неперервно відображає ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ на простір ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.3 розглядається оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Символом $T_x^{\xi}$ позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя: $$ T_x^{\xi} \varphi(x) = b_{\nu} \intl_{0}^{\pi} \varphi(\sqrt{x^2+\xi^2 - 2x \xi \cos \omega})\sin^{2\nu} \omega d\omega, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $b_{\nu} = \Gamma(\nu+1)/(\Gamma(1/2) \Gamma(\nu+1/2))$. Будемо говорити, що оператор $T_x^{\xi}$ визначений у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $T_x^{\xi} \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ для кожного $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Лема 2.1. Оператор узагальненого зсуву аргументу $T_x^{\xi}$ визначений і неперервний у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Наслідок 2.1. Операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.4 розглядається простір узагальнених функцій $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.
Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.
Оскільки в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ з основною функцією задамо формулою $ (f*\varphi)(x) = <f_{\xi}, T_{x}^{\xi}\varphi(x)>$, при цьому $f* \varphi$ є нескінченно диференційовною на $\mathbb{R}$ функцією, бо, згідно з наслідком 2.1, операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Якщо $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ і $f*\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi} \limits^{\circ}}$, то функціонал $f$ називається згортувачем у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Оскільки $F_B^{-1}[\varphi] \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $\varphi \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$, то перетворення Бесселя узагальненої функції $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ визначимо за допомогою співвідношення $$<F_B[f], \varphi> = <f, F_B^{-1}[\varphi]>, \quad \forall \varphi \in{\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}. $$ Звідси, з властивостей лінійності і неперервності функціоналу $f$ та перетворення Бесселя (прямого й оберненого) основних функцій випливає лінійність і неперервність функціоналу $F_B[f]$ над простором основних функцій ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$. Правильними є наступні твердження.
Теорема 2.1.Якщо узагальнена функція $f\in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})' $\,-- згортувач у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то для довільної функції $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ правильною є формула $ F_B[f * \varphi] = F_B[f] \cdot F_B[\varphi]$.
Теорема 2.2. Якщо узагальнена функція $f \in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$\,-- мультиплікатор у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то її перетворення Бесселя -- згортувач у просторі ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$.
Зауваження 2.3.Результати, одержані в теоремах 2.1, 2.2 можна сформулювати так: для того, щоб узагальнена функція $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ була згортувачем у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, необхідно і досить, щоб її перетворення Бесселя було мультиплікатором у просторі ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.5 наведено основні означення та твердження, що стосуються відображень вигляду $\Omega\ni\omega\rightarrow \varphi_\omega\in X$, де $X$\,-- лінійний топологічний простір або об'єднання таких просторів, $\Omega$\,-- деяка числова множина. Такі відображення називають ще абстрактними функціями параметра $\omega$ у просторі $X$. За $X$ можна, зокрема, брати простір $\Phi$ або ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
У розділі 3 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами та початковими умовами з простору узагальнених функцій $(\mathop{\Phi}\limits^{\circ})'$.
У підрозділі 3.1 досліджуються структура та властивості фундаментального розв'язку задачi Кошi.
Нехай $a$: $\mathbb{R} \to [0, +\infty)$\,-- неперервна, парна на $\R$ функція, однорідна порядку $\gamma \in (1, +\infty) \setminus\{2, 3, 4, \dots\}$, тобто $a(\lambda x) = \lambda^{\gamma} a(x)$, $\lambda > 0$, яка:
1) нескінченно диференційовна при $x \neq 0$, $a(0)=0$;
2) похідні функції $a$ задовольняють умову $$ \forall k \in \N \enskip \exists c_k > 0 \enskip \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}: \,\, |D_{x}^k a(x)| \leq c_k |x|^{\gamma-k}; $$
3) $\exists \delta > 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$: $a(x) \geq \delta|x|^{\gamma}$.
Функція $a$ є мультиплікатором у просторі ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$. У зв'язку з цим розглянемо оператор $A$: ${\mathop{\Phi} \limits^{\circ}} \to{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, який визначимо за допомогою співвідношення: $ A \varphi = F_B^{-1}[a F_B[\varphi]]$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Із властивостей перетворення Бесселя (прямого й оберненого) випливає, що $A$\,-- лінійний і неперервний оператор. Оператор $A$ називатимемо псевдо-Бесселевим оператором.
Розглянемо еволюційне рівняння з оператором $A$ вигляду $$\frac{\partial u}{\partial t} + Au = 0, \quad (t, x) \in (0, T]\times (0, \infty) \equiv \Omega_+. \eqno(2)$$