Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 9 из 25)
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством 
» от случая 1: с = С, b= -В, n= N, 
K)
с = - В (16-B),
b= С (17+C),
n= N(18),
K(19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательныерешения уравнения (15) в случае 8, т.е.
(40´),
(38´´), 
, 
(33),где
- взаимно простые нечетные целые числа.Доказательство
Сумма 
имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> 
.Выразим из (25) и (26)
: 
=> 
=> 
.По условию
должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.Т.о.,
имеют вид: 
, 
, а их сумма 
.Т.к. из (8)
, то 
=> 
.Из (19) с учетом (29) выразим
: 
, т.е. 
.Т.о.,
, 
, т.е. 
, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с 
:
т.к.
, т.е. 
.(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для с:
,т.к. из (29) вытекает 
.
Итак, 
.
Учитывая (34), получим
=> 
.Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
, т.е. 
.Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):
, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и изследующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с = - В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
K(19), K(19).
У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с иb.
«Общие свойства для с иb»:
сb= -СВ, с – b= -С -В,с – b=2К 
Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:
с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.
Отсюда получаем квадратное уравнение
- 2К 
+С В =0 => X1,2 = К
, где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть
Х1 = -b= К + = 
+ 
= + 
= + 
= -В =>b= В,
где на основании
и Х1 = - b= - 
Х2= с = К- = - = - = - = -С => с = - С,
где на основании (40´) 
и Х2 = 
Таким образом, мы получили случай 8: