Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 5 из 25)
=> 
=> 
.По условию 
должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.
Т.о.,
имеют вид: 
, 
, а их сумма 
.Т.к. из (8)
, то 
=> 
.Из (19) с учетом (29) выразим
: 
, т.е. 
.Т.о.,
, 
, т.е. 
,выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму 
:
т.к.
, т.е. 
.(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
, т.к. из (29) вытекает 
.Итак, 
.
Учитывая (35), получим
=> 
.Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):
, т.е. 
.Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
, ,
где 
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.
, 
, 
, 
,где
- взаимно простые нечетные целые числа.*******
Случай 3
(16) 
(17′) 
(18) 
(19′).Тогда сумма
имеет вид: 
Учитывая (14) и (19′), можно получить разность
: 
- 
=> 
(26′).Выразим из (25) и (26′)
: 
=> 
=> 
.По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о.,
имеют вид:
(30′), 
(31′), а их сумма .Т.к. из (8)
, то => .Из (19´) с учетом (29) выразим :
, т.е. 
(33´).Т.о.,
, 
,где
,т.е.
(34´), 
(35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :
т.к.
, т.е. .(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
, т.к. из (29) вытекает .Итак, 
.
Учитывая (35´), получим
=> 
( 
).Теперь, с учетом ( ), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):
, т.е. 
(39´´).Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:
(39´´),
(38´´), где - взаимно простые нечетные