Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 16 из 25)
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же 
= ± N= ± (
) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства 
» (пояснение (стр.10), подобное для 
при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: cиb – четные,чего не должно быть.Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) 
(1), где 
- четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
2.1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения 2)
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоятразные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо
(из 
), либо 
(из 
), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
(12) 
(13′) 
(14) 
(15) ,которые также являются решениями уравнения (11)
.Тогда сумма
имеет вид: 
Учитывая (10) и (15), можно получить разность
: 
=> 
.Выразим из (17) и (16)
: 
=> 
=> 
.По условию 
должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.
Т.о.,
имеют вид: 
, 
, а их сумма 
.Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то
=> 
.Из (15) с учетом (20) выразим
: 
, т.е. 
.Т.о.,
, 
, т.е. 
,выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму 
:
т.к. , т.е. 
.(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
, т.к. из (20) получается 
(20′).
Итак, 
(28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
=> 
.Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с2 (из (25)):
, т.е. 
.Таким образом, уравнение
(11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения: , ,
(28), ,
где 
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30´), => c = 
(30´), 
(29´) 
(28´), => b = 
1 (28´), 
(24´), где - взаимно простые нечетные целые числа.Случай 3
(12) 
(13′)