Дифференциальные уравнения (стр. 2 из 2)
в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tg у и у→0 при х→0. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела lim sin α/ α = 1, имеем:
г)При х→∞ выражение
является неопределенностью вида 1∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при х→∞ величины и применим формулу второго замечательного предела: 
Тогда имеем:
Пусть 3х – 1 = - у . Тогда 6х + 4 = - 2у + 6 и у→ -∞ при х→∞. Переходя к переменной у, получим:
Задача №5
Найти производные функций:
Решение
а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у′ нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у′ .
3у2у′ + еху (у + ху′) = 0, 3у2у′ + уеху + хеху у′ = 0,
Из последующего уравнения находим у′:
у′ (3у2 + хеху) + уеху = 0,
Задача №6
Исследовать функцию
методами дифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме:1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на непрерывность;
3) определить, является ли данная функция четной, нечетной;
4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;
5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции.
Решение
1. Функция определена при всех значениях аргумента х.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (- ∞; ∞).
3. Для установления четности и нечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) – четная функция) или f(-x) = - f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции:
Следовательно, f(-х) ≠ f(x) и f(-х) ≠ -f(х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
у′ = 0 при х1 = - 3, х2 = 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать области определения функции.
Разобьем числовую ось на три интервала: (- ∞; - 3), (- 3; 3), (3; ∞).
В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:
уmin = у(-3) = 0
Значит, А(-3;0) – точка минимума.
При переходе через точку х = 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум:
уmax = у(3) = 2
Значит, В(3;2) – точка максимума.
На рис. 1 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегиба графика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
у′′ = 0 при х1 = 0, х2 = - 3√3 , х3 = 3√3. 
Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3), (-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3 ; ∞). 
рис.2
На первом, втором и четвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна – дуга выпукла.
При переходе через точки х = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба.
Следовательно С(0;1) – точка перегиба графика функции.
При переходе через точку х = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 - абсцисса точки перегиба.
Следовательно
– точка перегиба графика функции.6. Так как точек разрыва у данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:
Тогда
При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.
у=kx + b, у= 0*х + 1 = 1
Значит прямая у=1 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.
рис. 3
Задача №7
Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
Решение
а) Применяя свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:
Задача №8
Вычислить объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4; у=0. Сделать чертеж.
Решение
Объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:
Подставим в формулу (1) у = 4/х, х1 = 1, х2 = 4, получим:
Ответ: объем тела вращения равен 12π