Смекни!
smekni.com
Математика

Дифференциальное исчисление (стр. 3 из 5)

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

Рассмотрим движение материальной точки М вдоль оси Ох (рис.1). За начало отсчета (точка О) примем положение материальной точки в момент времени t = 0. Пусть в момент времени t координата движущейся точки х равна f(t), т.е. координата х материальной точки есть функция времени:

Х = f(t), t Є [0; T]

О М х

Эта функция называется законом движения, задается формулой:

X = Vt

На практике поезда, автомобили движутся равномерно и прямолинейно лишь на некоторых участках, а в общем случае их движение неравномерное. При неравномерном прямолинейном движении материальная точка за разные, но равные по длительности промежутки времени может совершать разные как по времени, так и по направлению перемещения. Для неравномерного движения вводится понятие средней скорости Vср, которая зависит от выбора моментов времени t0 и t1:

Vср (t1, t0) =

Проиллюстрируем сказанное примером. Из курса физики известно, что свободное падение тел в поле тяжести Земли является неравномерным движением и совершается по закону х =

, где g – ускорение свободного падения. Его средняя скорость за первую секунду движения, т.е. за промежуток времени от момента t0 = 0 до момента времени t1 = 1, равна:

Vср(1, 0) =

,

в то время как для второй секунды движения (t1 = 2, t0 = 1) она уже равна в три раза большему значению:

Vср(2, 1) =

=

Средняя скорость не может полностью характеризовать неравномерное движение. Для полной характеристики вводят так называемую мгновенную скорость. Очевидно, что средняя скорость Vср (t1, t0) тем полнее характеризует движение за промежуток времени от t0 до t1, чем меньше длительность этого промежутка. Предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t1 при t1, стремящимся к t0, называется мгновенной скоростью V(t0) в момент времени t0, т.е.:

2. Производная функции

В рассмотренных выше задачах различные физические величины вводились с помощью некоторого предела одного и того же вида. Поэтому имеет смысл рассмотреть предел для функции в общем случае.

Определение. Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х0 – некоторая точка интервала (a; b). Предел

называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается f ′ (x0). Таким образом, по определению:

f ′ (x0) =

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием и обозначается с помощью штриха.

Если ввести приращение аргумента

х = х – х0 и приращение функции
f = f(x) – f(x0) = f(x0 +
x) – f(x0), то производная функции f(x) в точке x0 запишется в виде:

f ′ (x0) =

Часто для обозначения производной вместо штриха используется символ

.

Так как х0 – произвольное значение аргумента, то будем обозначать его просто Х. Тогда:

f ′ (x) =


Возвращаясь к рассмотренным выше задачам, можем теперь сказать, что искомые величина мгновенной скорости движения V(t) является производной от соответствующей функции:

V(t) = x ′ (t)

3. Физический и геометрический смысл производной.

Дадим геометрическое истолкование производной. Пусть кривая К является графиком непрерывной функции у = f(x), x Є [a; b] (рис. 2). На кривой К рассмотрим точки М0(х0; у0) и М1(х1; у1) и проведем секущую М0М1. Ее угловой коэффициент k = tg

равен:

Пусть теперь

, т.е. абсцисса точки М1 стремиться к абсциссе точки М0, оставаясь на кривой К. При этом секущая М0М1, вообще говоря, меняет свое положение, вращаясь вокруг точки М0, т.е. изменяет угол
.

) Если функция f(x) дифференцируема в точке х0, то существует предел:

=


и следовательно, существует прямая М0Т, являющаяся предельным положением секущей при приближении точки М1 по кривой к М0. Эта прямая называется касательной к кривой К в точке М0.

Таким образом, если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то ее график имеет касательную в точке М0(х0; f(x0)), угловой коэффициент которой равен

. Сказанное позволяет дать следующее геометрическое истолкование производной: производной функции у = f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М0(х0; f(x0)).

4. Вычисление производной на основе ее определения.

Исходя из определения производной сформулируем следующее правило нахождения производной функции в точке:

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x0 нужно:

1) Найти f(x) - f(x0);

2) составить разностное отношение

;

3) вычислить предел разностного отношения при

:

.

5. Непрерывность дифференцируемой функции.

Сформулируем и докажем необходимое условие существования производной.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x0 дифференцируема, т.е. существует предел:


Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:

,

где

. Домножим равенство на (х – х0), находим, что дифференцируемая в точке x0 функция представима в окрестности этой точки в виде:

,

где

. Переходя к пределу при
в равенстве получаем:

.

Последнее означает непрерывность функции f(x) в точке x0.

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

 
назад
читать дальше
1
2
3
4
5
НАПИШИТЕ НАМ
Copyright © Smekni.com. All rigths reserved.