{— 300+ 15t≥0,
{ 400—19t≥0,
{ t≥0
откуда 20≤t≤21 1/19, т.е. t = 20 или t = 21. Итак, на 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка
Второй метод решения диофантовых уравнений первой степени по своей сути не слишком отличается от рассмотренного в предыдущем пункте, но он связан с ещё одим интересным математическим понятием. Речь идёт о непрерывных или цепных дробях. Чтобы определить их вновь обратимся к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь а/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b=q0+r1/b . Но r1/b=1/b, и на основании второго равенства той же системы имем b/r1=q1+r2/r1. Значит, a/b=q0+1/q1+r2/r1. Далее получим a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2. Продолжим этот процесс до тех пор , пока не придём к знаменателю qn. В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn. Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин- цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. В качестве примера представим дробь 40/3t в виде цепной: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/9/4=1+1/3+1/2+1/4 .
Цепные дроби обладают следующим важным свойством: если действительное число а записать в виде непрерывной дроби , то подходящая дробь Pk/Qkдаёт наилучщее приближение числа a среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят Qk . Именно в процессе поиска наилучшего приблежения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катальди (1552-1626) пришёл в 1623году к цепным дробям, с чего и началось их изучение. В заключение вернёмся к цепным дробям и отметим их преимущество и недостаток по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой исчисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей.
Рассмотрим Диофантовы уравнения и решим их.
1 Решить в целых числах уравнение 3x+5y=7.
Решение.
Имеем
x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,
1-2y=3k,
y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,
1-k=2t, k=1-2t,
y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,
x=7-5(-1+3t)/3=4-5t
(t-любое число).
2 Решить в целых числах уравнение 6x²+5y²=74.
6x²-24=50-5y², или 6(x²-4)=5(10-y²), откуда x²-4=5u,т.е. 4+5u≥0, откуда u≥-4/5.
Аналогично:
10-y²=6u, т.е. 10-6u≥0, u≤5/3.
Целое число u удовлетворяет неравенству
-4/5≤u≤5/3, значит. u=0 и u=1.
При u=0, получим 10=y², где y-не целое, что неверно. Пусть u=1, тогда x²=9, y²=4.
Ответ: {x1=3, {x2=3, {x3=-3, {x4=-3,
{y1=2, {y2=-2, {y3=2, {y4=-2 .
3 Решить в целых числах уравнение x³+y³-3xy=2.
Решение.
Если x и y оба нечётны или одно из них нечётно, то левая часть уравнения есть нечётное число, а правая-чётное. Если же x=2mи y=2n, то 8m³+8n³-12mn=2, т.е. 2(2m³+2n³-3mn)=1, что невозможно ни при каких целых m и n.
4 Доказать, что уравнение 2x²+5y²=7 не имеет решений в целых числах.
Доказательство.
Из уравнения видно, что y должен быть нечётным числом. Положив y=2z+1, получим 2x²-20z²-20z-5=7, или x²-10z²-10z=6, откуда следует что x есть чётное число. Положим x=2u. Тогда 2u²-5z(z=1)=3, что невозможно, так как z(z+1) есть чётное число.
5 Доказать, что при любом целом положительном значении а уравнение x²+y²=а³ разрешимо в целых числах.
Доказательство.
Положим x+y=а², x-y=а, откуда x=a(a+1)/2 и y=a(a-1)/2. Поскольку при любом целом значении а в числителе каждой из данных дробей стоит произведение чётного и нечётного чисел, определённые таким образом x и y представляют сорбой целые числа и удовлетворяют исходному уравнению.
6 Решите в целых числах уравнение (x+1)(x²+10=y³.
Решение.
Непосредственно видим, что пары чисел (0;1) и (-1;0) являются решениями уравнения. Других решений нет, так как
x³<(x+1)(x²+1)<(x+1)(x+1)²=(x+1) ³, то (x+1)(x²+1)≠y³
ни для какого целого y (распологающегося между кубами последовательных целых чисел).
Список литературы:
1. И.М. Виноградов «Математическая энциклопедия»
2. Н.Я. Виленкин,Л.П. Шибасов,З.Ф. Шибасова «За страницами учебника математики»
3. А. П. Савин «Энциклопедический словарь юного математика»
4. И. Кушнир «Математическая энциклопедия»