M=

=

;
L=

;

=

.
Для доказательства леммы необходимо установить, что

и

.

=

=

=
=

.

=

=

=
=

.
Но эти отношения будут бесконечно большими, когда n полагается бесконечным, ибо тогда исчезают числа 1, 2, 3 и пр. по сравнению с n, и сами числа

,

,

и пр.

,

,

и пр. будут иметь те же значения, как

и

. После этого отбросив эти числа и проведя соответствующие сокращения на
n, получим, что

=

;

=

.
Количество сомножителей в числителе и знаменателе равно n. Вследствие чего эти отношения будут бесконечными степенями выражений:

и

и поэтому бесконечно большими.
Таким образом, мы выяснили, что в бесконечно высокой степени двучлена отношение наибольшего члена к другим L и

превосходит всякое заданное отношение.

и

.
Что и требовалось доказать.
Лемма 5.
Отношение суммы всех членов от L до

ко всем остальным с увеличением
n может быть сделано больше всякого заданного числа.
Доказательство.
M– наибольший член разложения.
Пусть соседние с ним слева будут F, G, H,…;
пусть соседние с L слева будут P, Q, R,….
На основании леммы 3 имеем:
< 
;

<

;

<

, …или

<

<

<

<….
Так как по лемме 4, при n бесконечно большом, отношение

бесконечно, то тем более будут бесконечными отношения

,

,

,…, и потому отношение

также бесконечно, т.е. сумма членов между наибольшим
M и пределом
L бесконечно больше суммы такого же числа членов за пределом
L и наиболее к нему близких. И так как число всех членов за пределом
L превышает, по лемме 1, не более чем в
s-1 раз (т.е. конечное число раз) число членов между этим пределом и наибольшим членом
M, а сами члены делаются тем меньше, чем дальше они отстоят от предела, по первой части леммы 3, то сумма всех членов между
Mи
L (даже не считая
M) будет бесконечно больше сумм всех членов за пределом
L. Аналогичное утверждение можно доказать относительно членов между
Mи

. Оба эти утверждения и доказывают лемму.
Что и требовалось доказать.
Главное предложение.
Пусть число благоприятных случаев относится к числу неблагоприятных точно или приближённо, как rкs, или к числу всех случаев, как rкr+sили rкt, это отношение заключается в пределах

и

. Требуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (
c раз) было вероятнее, что число благоприятных наблюдений попадёт в эти пределы, а не вне их, т.е. отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех будет не более чем

и не менее

.
Доказательство.
Пусть число необходимых наблюдений будет nt. Вероятность того что все наблюдения будут благоприятны, равна

,
что все кроме одного–

,
кроме двух

и т.д.
А это есть члены разложения (r+s) в степени nt (делённые на

), которые исследовались в прошлых леммах. Все дальнейшие выводы основываются на доказанных леммах. Число случаев с
ns неблагоприятными набдюдениями и
nr благоприятными даёт член
M. Число случаев, при которых будет
nr+nили
nr-n благоприятных наблюдений, выражается членами
L и

, отстоящих на
n членов от
M. Следовательно, число случаев, для которых благоприятных наблюдений окажется не более
nr+n и не менее
nr-n, будет выражаться суммой членов, заключённых между
L и

. Общее же число случаев, для которых благоприятных наблюдений будет или больше
nr+n или меньше
nr-n, выражается суммой членов, стоящих левее
L и правее

.
Так как степень двучлена может быть взята столь большая, чтобы сумма членов, заключённых между обоими пределами L и

превосходила более чем в
c раз сумму всех остальных из этих пределов выходящих, по леммам 4-й и 5-й, то, следовательно, можно взять столь большое число наблюдений, чтобы число случаев, при которых отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех оказывается заключённым в пределы

и

или

и

, превышало более чем в
c раз число остальных случаев, т.е. сделалось более чем в
c раз вероятнее, что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех заключается в пределах

и

, а не вне этих пределов.