Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 3 из 12)

Это высказывание является типичным высказыванием в духе механического детерминизма, который был в то время широко распространён в теории вероятностей.

1.3 Первые попытки введения аксиоматического определения понятия вероятности

П.Л. Чебышев (1821–1894 гг.) был создателем и идейным руководителем петербургской математической школы. Чебышев сыграл крупную роль в развитии многих разделов математики, в том числе теории вероятностей. В своей магистерской диссертации в первой главе он вводит понятие вероятности. Для этого он, прежде всего, определяет равновозможные события: «Если из определённого числа различных событий при известных обстоятельствах одно необходимо должно случиться, и нет особенной причины ожидать какого-либо из этих событий преимущественно пред другими, то такие события отличаем названием случаев равновозможных». Нельзя сказать, чтобы это определение было достаточно чёткое.

Если из n случаев m имеют следствием некоторое событие, то мерой вероятности этого события, которое называют вероятным, принимают

, т.е. «отношение числа равновозможных случаев, благоприятных для события, к числу всех равновозможных случаев».

А.А. Марков (1856–1922 гг.) был ближайшим учеником и лучшим выразителем идей Чебышева. В своей работе «Исчисление вероятностей» Марков давал классическое определение вероятности, но к определению равновозможности («Два события мы называем равновозможными, если нет никаких оснований ожидать одного из них предпочтительно перед другим. Несколько событий мы называем равновозможными, если каждые два из них равновозможны») он делал следующее примечание: «По моему мнению, различные понятия определяются не столько словами, каждое из которых может, в свою очередь, потребовать определения, как нашим отношением к ним, которое выясняется постепенно». Определение понятия вероятности выглядит так:

«Вероятностью события называется дробь, числитель которой представляет число равновозможных случаев, благоприятных этому событию, а знаменатель–число всех равновозможных случаев, соответствующих вопросу».[1,2]

В своей книге «Теория вероятностей» С.Н. Бернштейн попытался ввести определение понятия вероятности аксиоматическим способом.

Из аксиомы сравнения вероятностей и аксиомы о несовместимых событиях Бернштейн делает следующий вывод: «Если событию X благоприятствуют m случаев из общего числа всех n единственно возможных, несовместимых и равновероятных случаев, то вероятность события X зависит только от чисел m и n (а не от природы рассматриваемого опыта), т.е. вероятность X=F (m, n), где F (m, n) есть некоторая определённая функция».

Но, этим аксиомам удовлетворяет только функция вида F(

), причём–это возрастающая функция дроби

. Любую такую функцию F(

) можно принять за вероятность X. Общепринято считать F(

)= . Это и есть вероятность события X в высказанных условиях, а точнее классическое определение вероятности.

С уверенностью можно сказать, что определение понятия вероятности лежит в основе любой аксиоматической системы теории вероятностей. На недостатки классического определения вероятности указывали давно. Были видны и недостатки субъективной трактовки вероятности, идущей от Лапласа. Критику этих недостатков встречали доброжелательно. Наиболее широкое распространение получили работы в этом направлении немецкого учёного Р. Мизеса (1883–1953 гг.), который из гитлеровской Германии эмигрировал в США, где он возглавил Институт прикладной математики. Мизес является основателем так называемой частотной концепции в теории вероятностей.

Основным понятием в частотной теории Мизеса является понятие коллектива. Под коллективом понимается бесконечная последовательность k-одинаковых наблюдений, каждое из которых определяет некоторую точку, принадлежащую заданному пространству

конечного числа измерений. Говорить о вероятности, по Мизесу, можно только тогда, когда существует эта определённая совокупность событий. Коллектив, по Мизесу, "…должен удовлетворять следующим двум требованиям:

1) относительные частоты появления определённого события в последовательности независимых испытаний имеют определённые предельные значения;

2) предельные значения, о которых говорится в первом требовании, остаются неизменными, если из всей последовательности выбрать любую подпоследовательность.

Приняв за основу тот факт, что вероятность и частота – связанные между собой величины, Мизес определяет вероятность как предельное значение частоты: «Обосновано предположение, что относительная частота появления каждого единичного наблюдаемого признака стремится к определённому предельному значению. Это предельное значение мы называем вероятностью».

Но на самом деле никакого обоснованного предположения у нас нет. Мы никогда не можем знать, имеет ли данная частота предел или нет, хотя бы уже потому, что для этого пришлось бы произвести бесконечное число опытов. Это определение несостоятельно математически, так как мы не можем указать функциональной зависимости между количеством испытаний n и частотой появления событий

, где m-количество появлений события, а, не указав такой зависимости, мы не можем вычислить предел, , который принят за вероятность.

Крупнейшие представители теории вероятностей никогда не были приверженцами частотной школы, а приверженцы этой школы не получили существенных результатов в теории вероятностей.

Попыток обосновать теорию вероятностей было достаточно много. Например, итальянский математик Б. Финетти выдвинул субъективное толкование вероятности. Таким подходом к вероятности он пытался преодолеть противоречия, которые возникли и в классической теории вероятностей и в частотной школе Мизеса. По Финетти вероятность является чисто субъективной величиной. Каждый человек по-своему оценивает вероятность того или иного события.

Несколько позже Джеффрис разрабатывал понятие вероятности как степени правдоподобия. Впервые эта концепция была выдвинута Кейнесом в 1921 г. По этой теории каждое предложение имеет определённую вероятность. Вероятностям такого рода нельзя дать частотной интерпретации. Разработка теории степеней правдоподобия продолжается некоторыми математиками и в наши дни.

1.4 Появление аксиоматического определения понятия вероятности

На сегодняшний день закрепилось определение понятия вероятности данное А.Н. Колмогоровым в книге «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.) аксиоматически.

Уже были вскрыты глубокие аналогии между понятиями теории вероятностей и понятиями метрической теории функций. Были установлены аналогии между множеством и событием, мерой множества и вероятностью события, интегралом и математическим ожиданием и др.

Возникла потребность в аксиоматизации теории вероятностей исходя из теоретико-множественных представлений, что и было выполнено в книге Колмогорова. После этой аксиоматизации теория вероятностей заняла равноправное место среди других математических дисциплин.

Рассмотрим аксиоматику Колмогорова.

Пусть имеются наблюдения или испытания, которые хотя бы теоретически допускают возможность неограниченного повторения. Каждое отдельное испытание может иметь тот или иной исход в зависимости от случая. Совокупность всех этих возможных исходов образует множество E, которое является первым основным понятием аксиоматики. Это множество E называется множеством элементарных событий. Что из себя представляют события, являющиеся элементами этого множества, для дальнейшего логического построения совершенно безразлично, как безразлично для аксиоматического построения геометрии, что мы будем понимать под словами «точка», «прямая» и т.п. Только после такого аксиоматического построения теория вероятностей допускает различные интерпретации, в том числе и не связанные со случайными событиями. Любое подмножество множества E, т.е. любую совокупность возможных исходов, называют событием. Или другими словами: случайными событиями называются элементы множества F подмножеств из E. Далее рассматриваются не все события, а только некоторое тело событий. Теория вероятностей занимается только теми событиями, частота которых устойчива. Это положение в аксиоматической теории Колмогорова формализуется таким образом, что каждому событию, которое мы рассматриваем, ставится в соответствие некоторое положительное число, которое называется вероятностью данного события. При этом абстрагируются от всего того, что помогало сформулировать это понятие, например, от частоты. Это даёт возможность интерпретировать вероятность не только вероятностным способом. Тем самым значительно расширяются возможности вероятностей.

Сформулируем аксиомы Колмогорова [1,5].

1. Если случайные события A и B входят в состав F, то события A или B, A и B, не A и не B также содержатся в F.

2. F содержит в качестве элементов множество E и все отдельные его элементы.

3. Каждому элементу A из F поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число P(A), называемое вероятностью события A.