Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 12 из 12)

Для достаточно больших

, поэтому

, т.е. .

Далее, если событие

выполняется, а нет, то выполняется событие и, значит, .

Но

.

Следовательно,

.

Применим лемму 1, взяв

.

Тогда

.

События

независимы, поэтому .

Поскольку по условию

, , то из и получаем искомое соотношение .

Положим теперь

Из

следует, что если , , то и , .

Обозначим

. Тогда и по лемме 3

откуда

.

Для

.

Тогда из

,

и

следует, что

, а значит в силу произвольности

.

Что и требовалось доказать.

3. Дальнейшее обобщение теоремы Чебышева получается, если предположить, что

каким-нибудь образом зависят от исходов каких-либо испытаний , так что после каждого определённого исхода всех этих испытаний принимает определённое значение. Общая идея вех теорем, известных под названием закона больших чисел, состоит в том, что если зависимость величины от каждого отдельного испытания , , очень мала при больших , то величины устойчивы. Если рассматривать как разумную меру зависимости величины от испытания , то вышеупомянутая общая идея закона больших чисел может быть конкретизирована следующими рассуждениями.

Пусть

.

Тогда

,

,

.

Легко, далее, подсчитать, что случайные величины

, , некоррелированы. В самом деле, пусть , тогда, зная, что , можно записать следующее:

и, следовательно,

, .

Итак,

.

Таким образом, условие

, достаточно для нормальной устойчивости величин .

Таким образом, была завершена одна из центральных проблем теории вероятностей – проблема закона больших чисел.

Заключение

Мы проследили динамику развития понятия вероятности; такого понятия в теории вероятностей, как математическое ожидание, а также развитие одной из центральных теорем–закона больших чисел. Можем сделать следующие выводы.

Проследив динамику развития и формирования понятия вероятности можно отметить, что оно вырабатывалось сложными путями. Понятие вероятности облекалось в определения различных форм и содержаний.

Вначале это понятие понимали на чисто интуитивном уровне. Позднее появились различные определения понятия вероятности. Наблюдались попытки вводить новые понятия, например «собственно вероятность», но эти попытки не увенчались успехом – это понятие не сохранилось в науке. В дальнейшем возникает необходимость в более чётком и строгом отношении к основным понятиям теории вероятностей, т.е. и к определению понятия вероятности. Этого требовало развитие статистической физики; этого требовало развитие самой теории вероятностей, в которой остро стала ощущаться неудовлетворённость классического обоснования лапласовского типа; этого требовало и развитие других наук, в которых широко применялись вероятностные понятия. Становилось всё отчётливее видно, что теория вероятностей нуждается в новом логическом обосновании – в обосновании с помощью аксиоматического метода. Многие учёные предпринимают попытки аксиоматического определения понятия вероятности. Однако успешно эта задача была решена в начале XX в. Колмогоровым. Аксиоматика Колмогорова способствовала тому, что теория вероятностей окончательно укрепилась как полноправная математическая дисциплина.

Развитие понятия математического ожидания также встречало ряд трудностей. Попытки ввести понятие морального ожидания, которое бы устраняло недостатки математического ожидания – провалились. Это произошло из-за того, что понятие морального ожидания не было связано с понятием вероятности в отличие от математического ожидания. В результате понятие «математическое ожидание» заняло прочное место, по праву ему принадлежащее, в теории вероятностей.

Динамику развития закона больших чисел можно сравнить с иерархической лестницей. В основании её простейшие теоремы Бернулли и Пуассона, а на вершине – критерий применимости закона больших чисел (необходимое и достаточное условия). В отличие от понятий вероятности и математического ожидания, закон больших чисел не сталкивался с подобными противоречиями, в своей трактовке. Усовершенствование закона больших чисел происходило плавно, без резких скачков.

Список источников

1. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. – М.: Наука,

1967. – 320 с.

2 Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. – М.: Наука, 1980. – 270 с.

3 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука. Главная редакция физ. – мат. литературы, 1969. – 576 с.

4 Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука. Главная редакция физ. – мат. литературы, 1969. – 400 с.

5 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука. Главная редакция физ. – мат. литературы, 1974. – 120 с.

6 История отечественной математики. В 4 т.–К.: Навукова думка, 1967. – Т.2.

7 Гливенко В.И. Курс теории вероятностей. – М.: Гостехиздат, 1939.

8 Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений – М.–Л.: 1948.–Т.3.

9 История естествознания в России. – М.: 1960.–Т.2.

10 Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Теория вероятностей. – В кн.: «Математика в СССР за 30 лет». – М. – Л.: 1948.