Положим

Теорема.
Пусть

– последовательность взаимно независимых случайных величин. Тогда условия

=

,

,

,

необходимы и достаточны для устойчивости величин

,

При этом постоянные

,

, можно принять равными

, так что в случае

(и только в этом случае) устойчивость нормальная.
Доказательство.
Достаточность условий теоремы устанавливается просто. В самом деле поскольку

а согласно неравенству Чебышева

то

Для доказательства необходимости нам понадобится ряд вспомогательных предложений.
Лемма 1.
Пусть

– независимые события,

,

и для некоторого

. Если, кроме того, событие

таково, что для каждого

, то тогда

.
Доказательство.
Если существует такой номер

, что

, то

.
Пусть теперь для всех

.
Тогда найдётся такое

, что

, и, значит, для всех

,

,

.
Отсюда

.
Что и требовалось доказать.
Лемма 2.
Пусть

– независимые, ограниченные,

,

, случайные величины с нулевыми средними. Тогда для всякого

и целого

, где

.
Доказательство.
Пусть

,

,

,

,

. Замечая, что на множестве

, получаем

Из неравенства

следует, что

.
Поэтому

при любом

. Значит

и

.
Что и требовалось доказать.
Лемма 3.
Пусть

– независимые, ограниченные случайные величины, причём

,

. Тогда

.
Доказательство.
Обозначим

,

. Если

или

, то правая часть в доказываемом неравенстве отрицательна и неравенство очевидно.
Пусть теперь одновременно

,

. Тогда достаточно показать, что

, поскольку, очевидно,

.
Обозначим

. Если

, то

и, значит,

Предположим, теперь, что

.
Обозначая

и применяя лемму 2, находим

Отсюда

На множестве

.
Поэтому

.
Ясно также, что

.
Следовательно,

и, значит,

.
Что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы. Необходимость.
Пусть последовательность

,

такова, что для любого

,

. Покажем, что тогда

,

.
Обозначим для данного

,

,

.
Поскольку

– медиана

, то

.