В 1917 г. Кантелли распространил результат Бореля на любое

.
В 1913 г. Хаусдорф для случая Бернулли нашёл следующую оценку: с вероятностью единица

, где

произвольно.
В 1914 г. Харди и Литтльвуд показали, что с вероятностью единица

.
А в 1923 г. Хинчин доказал следующую теорему.
Теорема.
Если вероятность появления события A в каждом из

независимых испытаний равна

, то число

появлений события A в

испытаниях при

удовлетворяет соотношению:

.
Функция

в этом смысле является точной верхней границей случайной величины

.
Представим этот результат геометрически. Будем по оси абсцисс откладывать

, а по оси ординат –

. Проведём в этой системе прямые:

и

. Теорема Бореля-Кантелли утверждает, что при достаточно больших

почти достоверно, что

будет заключаться между прямыми

и

. Но эти границы оказались очень широки и Хинчин указал более строгие границы изменения

. Если мы проведём кривые

и (3.5.1)

, (3.5.1')
то по теореме Хинчина, каково бы ни было

, для достаточно больших

разность

почти достоверно заключена между этими кривыми. Если же взять кривые

и (3.5.2)

, (3.5.2')
то

почти достоверно бесконечно много раз выйдет за пределы этих кривых. Изобразим схематически эту ситуацию.

Хотя Марков и расширил границы применимости закона больших чисел, однако, окончательно этот вопрос ещё не был решён. Установить необходимые и достаточные условия применимости закона больших чисел удалось только благодаря применению методов и понятий теории функций.
В 1926 г. А.Н. Колмогоров установил эти условия в своей работе [5].
Определение.
Случайные величины

последовательности

называются устойчивыми, если существует такая числовая последовательность

, что для любого положительного

,

.
Если существуют все

и если можно положить

, то говорят, что устойчивость нормальная.
Если все

равномерно ограничены, то из

,

, следует соотношение

,

, и, следовательно,

,

.
Таким образом, устойчивость ограниченной последовательности необходимо нормальна. Пусть

.
По неравенству Чебышева

.
Следовательно, условие Маркова:

,

, достаточно для нормальной устойчивости.
Если

равномерно ограничены,

, то по неравенству

,

.
Следовательно, в этом случае условие Маркова является также и необходимым для нормальной устойчивости

.
Если

и величины

попарно некоррелированы, то

.
Следовательно, в этом случае для нормальной устойчивости средних арифметических

, т.е. для того, чтобы для всякого

,
Достаточно выполнения следующего условия:

(теорема Чебышева). В частности, это условие выполнено, если все величины

равномерно ограничены.
1. Можно обобщить эту теорему на случай слабо коррелированных величин

. Если предположить, что коэффициент корреляции

(ясно, что всегда

) между

и

удовлетворяет неравенству

и что

, то для нормальной устойчивости средних арифметических, т.е. для того, чтобы для всякого

,
достаточно выполнения условия

, где

.
2. В случае независимых слагаемых

можно дать также необходимое и достаточное условие для устойчивости средних арифметических

.
Для каждого

существует константа

(медиана

), удовлетворяющая следующим условиям:

,

.