Графики и их функции (стр. 2 из 6)
Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций - неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.
Глава II. Определение функций
2.1 Основные понятия о функциях
Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой соответствующее изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади. В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её часто обозначают буквой у), а другую - аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х). Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f(x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у. то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных функций обычно сводится к исследованию однозначных.
Переменная величина у есть функция аргумента х, т.е. y=f(x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.
Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f(x). Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат. Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую - функцией.
2.2 Способы задания функций
Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть различными способами:
1). Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений аргумента х1, х2, …, хk и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у1, у2, …, уk задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.
2). Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х - рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х - иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким - либо способом установить, рационально или иррационально число х0.
3). Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.
4). Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.
Краткое рассмотрение различных способов задания функции показывает, что для подробного изучения ее поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика.
Наконец, еще раз подчеркнем следующее: из определения функции вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать закон соответствия между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет значения.
Глава III. Исследования функций и их графиков
3.1 Простейшие функции и их графики
Пропорциональные величины. Если переменные величины у и х (прямо) пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = kx, где k есть некоторая постоянная величина (коэффициент пропорциональности). График прямой пропорциональности есть прямая линия (см. приложение 1), проходящая через начало координат и образующая с осью абсцисс угол α, тангенс, которого равен постоянной k; tg α = k. Поэтому коэффициент пропорциональности k называется также угловым коэффициентом.
Линейная функция. Линейной называется функция вида: y = kx + b, в аналитическое выражение, которой переменные х и у входят в первой степени. График линейной функции представляет прямую линию (см. приложение 2), располагающеюся относительно координатных осей различным образом, в зависимости от постоянных коэффициентов, k и b, которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равным нулю. Для построения графика линейной функции можно воспользоваться геометрическим смыслом коэффициентов k и b или найти две точки прямой на плоскости, например, точки пересечения с осями координат.
Свойства функции y = kx+b:
D(f) = (-
+ 
);Возрастает, если k >0, убывает, если k<0;
Не ограничена ни сверху, ни снизу;
Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
Функция непрерывна;
E(f) = (-
+ );Обратная пропорциональность. Если переменные величины у и х обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением
, где с есть некоторая постоянная величина. График обратной пропорциональности есть кривая линия (см. приложение 3), называемая гиперболой, состоящая из двух ветвей.Свойства функции
:D(f) = (-
0) U (0, + );Если с >0, то функция убывает на открытом луче (-
0) и на открытом луче (0, + ); если с<0, то функция возрастает на (- 0) и на (0, + );Не ограничена ни снизу, ни сверху;
Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
Функция непрерывна на открытом луче (-
0) и на открытом луче (0, + );Е(f) = (-
0) U (0, + );Если с>0, то функция выпукла вверх при х<0, т.е. на отрытом луче (-
0), и выпукла вниз при х>0, т.е. на открытом луче (0, + ). Если с<0, то функция выпукла вверх при х>0 и выпукла вниз при х<0;Функция имеет асимптоты y = 0 и x = 0/
Квадратичная функция. Функция y = ax2 + bx + с (a, b, с - постоянные величины; а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае y = ax2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции y = ax2, есть парабола (см. приложение 4). Каждая такая парабола имеет ось симметрии (OY), называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же формулу, что и график функции y = ax2 (при том же значении а), т.е. также есть парабола. Ось этой параболы по-прежнему вертикальна, но вершина лежит не в начале координат, а в точке
Свойства функции ax2 + bx + с:
Для случая, а>0
D(f) = (-
+ );Убывает на луче
, возрастает на луче 
;Ограничена снизу, не ограничена сверху;
унаим. = y0, yнаиб. Не существует;
Непрерывна;
Выпукла вниз.
Для случая, а<0
D(f) = (-
+ );Убывает на луче
возрастает на луче ;