Гиперболическая геометрия (стр. 2 из 2)

Множество прямых, параллельных данному лучу, называется «пучком параллельных»; он содержит единственную прямую, проходящую через любую заданную точку. Следуя аналогии с обычным пучком (состоящим из всех прямых, проходящих через точку), можно считать, что пучок параллельных определяет «бесконечно удаленную точку», или, по терминологии Д.Гильберта (1862–1943), «конец». Вместо того, чтобы говорить, что два луча (или две прямые) параллельны или что они принадлежат некоторому пучку параллельных M, говорят, что два луча имеют общий конец M. Луч, проходящий через точку C и принадлежащий данному пучку параллельных, принято обозначать CM, как если бы это был отрезок; тот же символ CM можно использовать и для обозначения всей прямой. Если BM и CM – параллельные лучи, то фигура MCB называется «асимптотическим треугольником», поскольку она во многом ведет себя, как обычный треугольник. В частности, два асимптотических треугольника конгруэнтны, если у них имеется по конгруэнтной стороне и конгруэнтному углу.

Рассмотрим содержание гиперболической геометрии.

Из абсолютной геометрии Бойяи можно вывести евклидову геометрию, добавив евклидову (или аффинную) аксиому: через точку B, не лежащую на данной прямой r, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Гиперболическую геометрию можно вывести из абсолютной геометрии, добавив гиперболическую аксиому. Система аксиом гиперболической геометрии отличается от эвклидовой аксиоматики в одном: в качестве аксиомы о параллельных берется положение о том, что «через точку, находящуюся вне прямой, можно провести две прямые линии, параллельны ей». Из этой аксиомы шаг за шагом геометрически выводятся другие свойства этой геометрии. Таким образом, лучи BM и BN на рис. 2 могут быть оба параллельны r, а если M и N их концы, то r называется «прямой MN». Любая прямая, например t, являющаяся продолжением стороны угла NBM, образует с r пару «гиперпараллельных», т.е. пару прямых, которые не пересекаются и не параллельны. Две такие прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Множество прямых, перпендикулярных данной прямой a, называются «пучком гиперпараллельных» с «осью» a.

Рисунок 3

Отражение относительно BC показывает, что CBM и NBC – равные острые углы. Лобачевский назвал каждый из них «углом параллельности» П(a), где a – длина BC. Он показал, что функция П(a) монотонно убывает от   до 0, когда a возрастает от 0 до . Треугольник BMN естественно назвать «дважды асимптотическим треугольником». Два дважды асимптотических треугольника конгруэнтны, если имеют конгруэнтные углы. Если отрезок CB возрастает до тех пор, пока не превратится в луч CL, то BMN превращается в «трижды асимптотический треугольник» LMN, все три вершины которого являются концами (все три стороны такого треугольника бесконечны, а все три угла равны нулю). Все трижды асимптотические треугольники конгруэнтны.

Помимо геометрии римановых пространств, Риман был создателем ещё одной важнейшей геометрической дисциплины, значительно расширившей наши представления о пространстве, - топологии. Этораздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. Раньше она носила названия «анализ ситус» (анализ положения), а также «теория точечных множеств». В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.

Поясним суть ее проблем на одном примере. Возьмем некоторую поверхность и будем ее рассматривать как резиновую пленку, которую можно сжимать и растягивать, но не рвать. Тогда никакие из разрешенных операций не могут преобразовать сферу в тор (бублик); число дыр в поверхности называется ее «родом» и является «топологическим инвариантом». Аналогичный инвариант существует и для односторонних поверхностей, таких как лист Мёбиуса.

В последние десятилетия наши представления о пространстве сильно изменились под воздействием повсеместного принятия в физике концепции «пространства-времени». Связывание воедино двух фундаментальных понятий вынуждает перенести все внимание с «положения» на «событие». Выбирая из многообразия римановых метрик некоторую, в чем-то более предпочтительную, можно более удовлетворительным образом скоординировать результаты современной науки.

Литература

1. Мацуо Комацу, Многообразие геометрии, «Знание», 1981 год.

2. А.В.Силин, Н.А.Шмакова, Открываем неэвклидовую геометрию, «Просвещение», 1988 г.

3. Б.А.Розенфельд, История неэвклидовой геометрии, «Наука», 1976 г.

4. П.А.Широков, «Краткий очерк основ геометрии Лобачевского», «Наука», 1983г.

5. Н.А.Лицис, Философское и научное значение идей Н.И.Лобачевского, «Зинатне», 1976 г.

6. Энциклопедия «Мир вокруг нас».