Геометрия чисел (стр. 2 из 3)

f(x₁, x₂) = Х₁² + Х₂², (3)

где

Х₁ = ax₁ + bx₂, X₂ = gx₁ + dx₂, (4)

a,b,g,d - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить

a = a₁₁^1/2, b = a₁₁^-1/2a₁₂,

g = 0, d = a₁₁^-1/2D^1/2.

Обратно, если a,b,g,d - такие вещественные числа, что ab - gd¹ 0, и формы Х₁, Х₂ заданы равенствами (4), то выражение

Х₁² + Х₂² = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂²,

где

a₁₁ = a² + g²,

a₁₂ = ad + bg, (5)

a₂₂ = b² + d²,

является положительно определенной квадратичной формой с определителем

D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² = (ad - bg)². (6)

Теперь будем рассматривать пару (Х₁, Х₂)как систему прямоугольных декартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х₁, Х₂), соответствующие целым (x₁, x₂) в выражениях (4), образуют (двумерную) решетку L. В векторных обозначениях решетка L есть совокупность точек

(Х₁, Х₂) = u₁(a,g) + u₂(b,d), (7)

где u₁, u₂ пробегают все целые числа; точки (векторы) (a,g) и (b,d) образуют базис решётки L.

Рассмотрим теперь более подробно свойства решеток. Ввиду того, что мы рассматриваем решетку L просто как множество точек, мы можем её описать с помощью различных базисов. Например, пара

(α – β, γ – δ), (- β, - δ)

является другим базисом решётки L. Фиксированный базис (α, β), (γ, δ) решётки L определяет разбиение плоскости двумя семействами равноудалённых параллельных прямых; первое семейство состоит из тех точек (Х₁, Х₂), которые имеют координаты вида (7), где u₂ – любое целое число, а u₁ – любое вещественное. Для линий второго порядка семейства u₁ и u₂ меняются ролями. Таким образом, плоскость разбивается на параллелограммы, вершинами которых являются как раз точки решётки L.

Разумеется, что это разбиение зависит от выбора базиса. Однако, можно показать, что площадь получаемых параллелограммов, именно число

|αδ – βγ|,

не зависит от выбора базиса. Это становится возможным, если показать, что число N(X) точек решётки в достаточно большом квадрате

ζ (Х): |Х₁| ≤ Х, |Х₂| ≤ Х

удовлетворяет соотношению

N(X) / 4X² → 1 / |αδ - βγ| (X → ∞).

Действительно, рассмотрение идей доказательства теоремы Минковского о выпуклом теле, которое было приведено в кратком виде выше, показывает, что число точек решётки L в квадрате ζ (Х), грубо говоря, равно числу параллелограммов, находящихся в этом квадрате. А это число, в свою очередь, приблизительно равно площади квадрата ζ (Х), делённой на площадь |αδ - βγ| одного параллелограмма. Строго положительное число

d (L) = |αδ - βγ| (8)

называется определителем решётки L. Как было только что показано, это число не зависит от выбора базиса.

Критические решётки.

Используя введённые выше новые понятия, можно заметить, что утверждение о существовании целых решений неравенства f(х₁,х₂) £ (4D/3)^1/2 эквивалентно утверждению о том, что любая решётка Lв области

Х₁² + Х₂² ≤ (4/3)^1/2 d(L) (9)

имеет точки, отличные от начала координат. В силу однородности это в свою очередь эквивалентно утверждению, что открытый круг

Đ: Х₁² + Х₂² < 1 (10)

содержит точку каждой решётки L, для которой d(L) < (3/4)^1/2. А тот факт, что существуют такие формы, для которых в (2) знак равенства необходим, эквивалентен существованию решётки L_с с определителем d(L_с) = (3/4)^1/2, не имеющей точек в круге Đ. Таким образом, задача о произвольной определённой бинарной квадратичной форме эквивалентна задаче о фиксированной области Đ и произвольной решётке. Аналогично исследование решёток с точками в области

| Х₁ Х₂| < 1

даёт информацию о минимумах inf |f(u₁,u₂)| неопределённых бинарных квадратичных форм f(x₁,x₂). Здесь точная нижняя граница берётся по всем целым числам u₁ и u₂, не равным одновременно нулю. Примеры можно продолжить.

Подобные рассмотрения приводят к следующим определениям. Говорят, что решётка L допустима для области (точечного множества) Â в плоскости {Х₁,Х₂} если она не содержит никаких других точек Â, кроме, может быть, начала координат. Последний случай возможен, когда начало координат является точкой области Â. Тогда мы говорим, что эта решётка Â-допустима. Точная нижняя грань Δ(Â) определителей d(Λ) всех Â-допустимых решёток является константой области Â. Если Â-допустимых решёток не существует, то полагаем, что Δ(Â) = ∞. Тогда любая решётка Λ, для которой d(Λ) < Δ(Â), обязательно содержит точку области Â, отличную от начала координат. Â-допустимая решётка Λ, для которой d(Λ) = Δ(Â), называется критической (для Â). Конечно, критические решётки, вообще говоря, существуют не всегда.

Важность критических решёток была замечена уже Минковским. Если L_с – критическая решётка области Â, а решётка Λ получена из Λ_с небольшой деформацией (то есть малым изменением пары базисных векторов), то либо решётка Λ имеет точку, отличную от начала координат и лежащую в области Â, либо d(Λ) ≥ d(Λ_с). Либо и то, и другое вместе.

В качестве примера можно снова рассмотреть открытый круг

Đ: Х₁² + Х₂² < 1.

Предположим, что Λ_с – критическая решётка области Đ. Ниже будет дан набросок доказательства того, что если критическая решётка существует, то она должна иметь три пары точек ±(А₁, А₂), ±(В₁, В₂), ±(С₁, С₂) на границе Х₁² + Х₂² = 1 круга Đ.

Если Λ_с не имеет точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1, то можно будет получить Đ-допустимую решетку с меньшим определителем, гомотетически сжимая решетку Λ_с к началу координат, то есть рассматривая решетку L = tΛ_с точек (tX₁, tX₂), где (Х₁, Х₂) Î Λ_с , а t — это фиксированное число с условием 0 < t < 1. Тогда d(L) = t²d(L_c) < d(L_c) и, очевидно, L будет Đ-допустимой решеткой, если t достаточно близко к 1. Таким образом, решетка L_c содержит пару точек наокружности Х₁² + Х₂² = 1, координаты которых после надлежащего поворота осей мы можем считать равными ± (1, 0).

Если бы на окружности Х₁² + Х₂² = 1 не было бы больше точек решетки L_c, то мы смогли бы получить Đ-допустимую решетку Lс меньшим определителем, сжимая решетку L_c в направлении, перпендикулярном оси X₁, то есть принимая за L решетку точек (Х₁, tХ₂), где (Х₁, Х₂) Î Λ_с, а t достаточно близко к 1.

Наконец, если бы Λ_с имела бы только две пары точек ±(1, 0), ± (В₁, В₂) на границе, то решетку можно было бы слегка деформировать так, чтобы точка (1, 0) осталась на месте, а точка с координатами (В₁, В₂) продвинулась бы вдоль окружности Х₁² + Х₂² = 1 ближе к оси Х₁. Наглядно это представлено на рисунке:

Данная операция, как легко проверить, уменьшает определитель, и при небольших деформациях получающаяся решётка Λ остаётся Đ-допустимой. Действительно, (1,0) и (В₁, В₂) можно рассматривать как базис решётки Λ_с, так как треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (В₁, В₂), а следовательно, и параллелограмм, отвечающий базису (1, 0), (В₁, В₂) не содержит внутри себя точек Λ_с. Тогда критическая решётка Λ_с (если она существует) должна иметь три пары точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1. Легко увидеть, что единственной решеткой, у которой три пары точек лежат на окружности Х₁² + Х₂² = 1, а одна из пар есть пара ± (1, 0), является решетка Λ ́ с базисом

(1, 0), (1/2, √3/4).

Она содержит вершины правильного шестиугольника

± (1, 0), ± (1/2, √3/4), ±(-1/2, √3/4),

лежащие на окружности Х₁² + Х₂² = 1, но не содержит ни одной точки (кроме (0, 0)) в круге Х₁² + Х₂² < 1. Таким образом, мы показали, что если Đ имеет критическую решетку, то Δ(Đ) = d(Λ ́) = (3/4)^1/2. Минковский показал, что критические решетки существуют для довольно широкого класса областей Â, показав, грубо говоря, что любую Â-допустимую решетку Λ можно постепенно деформировать до тех пор, пока она не станет критической.

“Неоднородная задача”

Другим общим типом проблемы является следующая типичная «неоднородная задача». Пусть f(х₁,…,x_n)— некоторая вещественнозначная функция вещественных аргументов х₁, . . ., х_n. Требуется подобрать постоянное число k со следующим свойством: если ξ₁, ...,ξ_n — любые вещественные числа, то найдутся такие целые числа u₁,…,u_n, что

│f(ξ₁ – u₁,…, ξ_n– u_n)│≤ k.

Подобные вопросы естественно возникают, например, в теории алгебраических чисел. И на этот раз имеется простая геометрическая интерпретация. Для наглядности положим n = 2.Пусть Â — множество таких точек (х₁,х₂) двумерной евклидовой плоскости, что

│f(x₁, …, x_n)│≤ k.