Геометрия Лобачевского (стр. 7 из 13)
Следовательно, для системы ∑* нашлась интерпретация — это та же интерпретация, что и интерпретация системы
. Поэтому система аксиом ∑* (содержательно) непротиворечива. Но в таком случае из самого способа составления этой системы аксиом следует, что аксиома параллельных Vне зависит от остальных аксиом ( 
\ V) евклидовой геометрии. Замечание. Так как аксиома параллельных V эквивалентна V постулату Евклида, то полученный результат можно еще сформулировать так: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом системы
. Модель Кэли — Клейна плоскости Лобачевского
Эта модель называется также моделью Кэли — Клейна. Ее построил английский математик Кэли, но он не понял, что введенная им геометрия в круге и есть геометрия Лобачевского; это сообразил позже, в 1870 г., немецкий математик Клейн.
1. Плоскость Лобачевского Λ2 порождена множеством Q* векторов мнимой длины трехмерного псевдоевклидова пространства V(индекса 1). Скалярное произведение векторов пространства Vопределяется при помощи заданной билинейной формы g(х, у), такой, что g(x, х) — невырожденная квадратичная форма индекса 1.
Рассмотрим проективную модель плоскости Λ2. На проективной плоскости Р2, порожденной векторным пространством V, квадратичная форма g(х, х) определяет линию второго порядка Q : Ф (X) = 0, где Ф (X) = g(х, х), и вектор
порождает точку XÎP2. При этом на плоскости Р2 рассматриваются не любые проективные преобразования, а только те, которые порождены автоморфизмами псевдоевклидова векторного пространства V. Такие проективные преобразования образуют стационарную подгруппу НQкривой второго порядка Q. Пусть
— ортонормированный базис пространства V, причем 
— мнимоединичный вектор. Если в этом базисе вектор имеет координаты 
, то, очевидно 
. Базис В порождает проективный репер R= (А1, А2, A3, E) плоскости Р2. В этом репере в силу предыдущего равенства линия Qопределяется уравнением
. Следовательно, Q — овальная линия второго порядка.
Напомним, что точка
является внутренней точкой относительно линии Qтогда и только тогда, когда 
. Это означает, что точка М порождена вектором 
мнимой длины, т. е. 
. Таким образом, при отображении определяющем проективную плоскость Р2, множество p(W*)=Λ2 есть множество точек, внутренних относительно овальной линии Q.
Так как при отображении p аксиомы ΣΛ выполняются, то множество p(W*)=Λ2 точек, внутренних относительно кривой Q, является моделью плоскости Лобачевского. Линия второго порядка Qназывается абсолютом плоскости Лобачевского Λ2.
2. Выясним, как изображаются прямые, отрезки, лучи, полуплоскости и углы на модели Кэли — Клейна.
Пусть W— двумерное подпространство пространства Vи W' =W∩W*≠Æ. Тогда фигура p(W*) называется прямой плоскости Лобачевского Λ2. Так как
есть прямая на проективной плоскости Р2, то прямая 
плоскости Лобачевского является пересечением прямой а с внутренней областью абсолюта W. На рисунке 3-1, а проективные прямые а и bопределяют прямые аΛ и bΛплоскости Лобачевского, которые представляют собой хорды (без концов) абсолюта Wи выделены жирной линией. На том же рисунке проективные прямые с и dне определяют прямых на плоскости Λ2, так как на них нет точек, внутренних относительно абсолюта. Таким образом, проективная прямая и определяет прямую иΛ на плоскости Λ2 тогда и только тогда, когда 
на ней лежит хотя бы одна внутренняя точка относительно абсолюта W. Другими словами, проективная прямая и определяет прямую uΛ на плоскости Λ2 тогда и только тогда, когда она пересекает абсолют в двух вещественных точках U и V. Прямую иΛ будем обозначать через UVили VU(рис. 3-1, б).Мы видим, что прямыми плоскости Лобачевского являются хорды (без концов) абсолюта. Любые две точки А и В плоскости А2, лежащие на прямой UV, не разделяют пару точек U, V(рис. 3-1, б), т. е. (UV, АВ)> 0.
Введем понятие «лежать между» для трех точек прямой на модели Кэли — Клейна. Предварительно докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть А, В и М — три точки на прямой UV плоскости А2. Если (АВ,MU) <0, то и (АВ, MV) <0.
доказательство
Пусть А и В — две точки плоскости Λ2, лежащие на прямой UV. Будем говорить, что точка М прямой UV лежит между точками А и В (и писать: А —М — В), если пара точек А, В разделяет пару точек М, U(или пару точек М, V), т. e.(AB,MU) < 0 (или (АВ, MV) < 0).
Легко видеть, что это определение не зависит от порядка, в котором берутся точки А и В. В самом деле, так как (АВ, MU) = (BA,MU)-1, то если А — М — В, то В — М — А. Нетрудно убедиться в том, что на модели Кэли — Клейна выполняются и все другие аксиомы группы II Гильберта.
Далее, обычным путем определяются понятия отрезка, многоугольника, луча, угла и полуплоскости. На рисунке 3-2 изображены отрезок АВ и угол О, внутренняя область угла О заштрихована. На этом же рисунке одна из полуплоскостей с границей UVзаштрихована.
3. Выясним теперь, как интерпретируется на модели Кэли — Клейна расстояние между двумя точками. Для этого воспользуемся общей формулой расстояния между двумя точками.
Пусть X, Y— две точки плоскости L2.
Найдем векторы, порождающие точки пересечения прямой XYс абсолютом Q. Для этого записываем уравнение проективной прямой XYв параметрическом виде и находим отношение
(или 
) из уравнения точек пересечения линии с прямой 
. Если точки X, Yпорождены векторами и 
, то уравнение принимает вид:
(2) Учитывая, что векторы
, мнимой длины, мы можем их нормировать так, чтобы 
, где r> 0 — тоже число, что и в формуле (4) §1 Гл.3. Из этой формулы находим
. Уравнение (2) принимает вид:
, (3) где берется знак «плюс» в случае
× < 0 и знак «минус» в случае × >0. Рассмотрим случай
× >0. Учитывая, что 
, из уравнения (3) находим:
и 
.