Геометрия Лобачевского (стр. 6 из 13)

=x¹y¹ + x²y² + …+ xⁿ^-^kyⁿ^-^k – xⁿ^-^k⁺¹yⁿ^-^k⁺¹ - …- xⁿyⁿ . (2)

Докажем следующую теорему.

Теорема. В псевдоевклидовом векторном пространстве V индекса 1 для любых двух векторов мнимой длины справедливо неравенство

(

)²

причем знак равенства в этой формуле имеет место тогда и только тогда, когда векторы

и коллинеарны.

доказательство

Следствие. В псевдоевклидовом векторном пространстве индекса 1 для любых двух векторов

, мнимой длины справедливо неравенство

(3)

Пусть V— псевдоевклидово векторное пространство индекса размерности п + 1 над полем R (n = 2,3) и g (

,) — билинейная форма, с помощью которой в пространстве Vопределено скалярное произведение. Мы будем рассматривать только автоморфизмы пространства V, т. е. такие линейные преобразования этого пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов (и значит, сохраняют длины векторов). Обозначим через Ω* множество всех векторов мнимой длины пространства V. Очевидно, что если φ — автоморфизм пространства V, то φ (Ω*) = Ω*.

Множество Е ≠ 0 называется п-мерным гиперболическим пространством Лобачевского (и обозначается через

), если задано отображение

π : Ω^*→E,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) π— сюръекция;

2) π(

) = π() тогда и только тогда, когда и коллинеарны.

Систему аксиом 1—2 пространства Лобачевского обозначим через

Элементы множества Е называются точками. Так же как и в случае проективного пространства, если X = π (

), то будем говорить, что точка X порождена вектором .

Расстояние между точками X, Y

, определяется следующим образом. Зададим положительное число r(одно и то же для данного пространства ). Если точки X, Yпорождаются векторами , Ω*, то назовем расстоянием между этими точками неотрицательное число δ(X, Y), удовлетворяющее равенству

(4)

где cht =

- гиперболический косинус вещественной переменной t. Мы замечаем, что функция cht четная, определена на всей числовой оси и ее значения заполняют промежуток [1, + ∞]. Поэтому согласно формуле (3) расстояние между любыми двумя точками всегда существует и является положительным числом.

Число r > 0 называется радиусом кривизны пространства

Правая часть формулы (4) показывает, что расстояние δ(X, Y) не зависит от выбора векторов, порождающих точки Xи Y.

Всякий автоморфизм φ псевдоевклидова векторного пространства индуцирует некоторое преобразование f пространства

по закону:

если

φ (

) = , то f(X) = X’.

Из формулы (4) следует, что преобразование fсохраняет расстояние между любыми двумя точками пространства

. Такое преобразование f называется движением пространства .

Из определения пространства

можно заключить, что гиперболические пространства Лобачевского и ' одной и той же размерности изоморфны. Следовательно, система аксиом категорична, теория T () однозначна и ее можно изучать, пользуясь любой интерпретацией.

Докажем, что система аксиом

непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество R вещественных чисел. Для простоты изложения ограничимся случаем, когда п = 2, т. е. когда Е — плоскость Лобачевского.

Вектором псевдоевклидова векторного пространства Vиндекса 1 размерности 3 назовем любой столбец вида

, где а₁, a₂, a₃ — произвольные вещественные числа. Сумма векторов и умножение вектора на число вводятся обычным образом, т. е. как сумма столбцов и умножение столбца на число.

Скалярным произведением векторов

и назовем число a₁b₁+ а₂b₂ - а₃b₃. Мы получили модель псевдоевклидова векторного пространства индекса 1 размерности 3. Очевидно, множество Ω* всех векторов мнимой длины состоит из тех и только тех векторов , для которых .

Введем следующее обозначение. Множество всех троек чисел вида km₁, km₂, km₃, где k— любое действительное число, отличное от нуля, а m₁, т₂, m₃ - фиксированные числа, не равные одновременно нулю, обозначим через < m₁, т₂, m₃>. ■

Точкой (т. е. элементом множества Е) назовем любое множество < m₁, т₂, m₃> при условии, что

. Отображение π : Ω^*→E определим так: вектору поставим в соответствие точку < m₁, т₂, m₃> , такую, что (а₁, а₂, а₃) < m₁, т₂, m₃ >

В построенной интерпретации, очевидно, выполняются обе аксиомы системы

Рассмотренное выше утверждение позволяет дать еще один способ доказательства независимости аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии .

Система аксиом

Гильберта евклидовой геометрии состоит из аксиом I, II, III, IV, V групп, где V — аксиома параллельных, эквивалентная (при сохранении аксиом I — IV) V постулату Евклида. Выше было доказано, что система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. В последующем мы ограничимся геометрией на плоскости, поэтому все системы аксиом будем рассматривать лишь для плоскости.

Рассмотрим систему аксиом ∑* = (

\V) UV*. где V* — аксиома Лобачевского. Обозначим через систему аксиом 1—2 плоскости Лобачевского . Выше мы доказали, что эта система непротиворечива. При этом система аксиом категорична (все ее интерпретации изоморфны). Можно доказать (с помощью достаточно длинных рассуждений), что системы аксиом ∑* и эквивалентны.