Геометрия Лобачевского (стр. 11 из 13)

Реализацию геометрии Лобачевского на поверхностях постоянной отрицательной кривизны установил итальянский математик Бельтрами (в 1861 г.).

Впрочем, еще за 30 лет до него это установил, собственно, Миндинг — профессор университета в Дерпте (ныне Тарту), — но не понял этого.

Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского

Мы докажем непротиворечивость системы аксиом планиметрии Лобачевского, состоящей из четырех групп I_1-3, II_1-4, III_1-5, IV_1-2 аксиом Гильберта (аксиомы абсолютной планиметрии) и аксиомы V* Лобачевского. При решении этой задачи предполагается, что евклидова геометрия (т. е. система аксиом ∑_H Гильберта) непротиворечива. Мы построим из объектов евклидовой плоскости модель плоскости Лобачевского, которая называется евклидовой моделью Кэли — Клейна. Рассмотрим на евклидовой плоскости некоторую окружность ω с центром О радиуса r = 1 и назовем ее абсолютом. Обозначим через Ω круг с границей ω, а через

множество внутренних точек этого круга.

Введем следующие соглашения. Неевклидовой точкой назовем любую евклидову точку М

, а неевклидовой прямой — любую хорду (без концов) окружности ω. Отношения «принадлежность» и «лежать между» понимаем в обычном смысле. Неевклидовы прямые будем обозначать так: UV, U₁V₁и т. д., предполагая, что U, V, U₁, V₁. Таким образом, неевклидовыми точками прямой UVбудут те и только те евклидовы точки, которые лежат между точками Uи V.

Нетрудно убедиться в том, что при этих соглашениях выполняются все аксиомы I_1-3, II_1-4 Гильберта. Проверим в качестве примера аксиому. Пусть А и В — две неевклидовы точки, aUV— неевклидова прямая, на которой они лежат. Так как А и В — внутренние точки хорды UV, то на этой хорде существует хотя бы одна внутренняя точка С, такая, что А — В — С. Отсюда мы заключаем, что существует по крайней мере одна неевклидова точка С, такая, что неевклидова точка В лежит между неевклидовыми точками А и С.

Так как в построенной модели выполняются все аксиомы групп I, II Гильберта, то выполняются и все следствия из этих аксиом, в частности имеют место теоремы, с помощью которых вводятся понятия луча и полуплоскости. Ясно, что неевклидовым лучом, исходящим из точки С, является множество всех внутренних точек произвольной полухорды CUокружности ω (CU— евклидов отрезок, где С — внутренняя точка круга Ω, aU— точка на его границе). Неевклидовой полуплоскостью является множество всех внутренних точек какого-нибудь сегмента круга Ω.

Для того чтобы в нашей модели определить равенство отрезков и углов, введем ряд вспомогательных понятий. Напомним, что на евклидовой плоскости простым отношением трех точек А, В и С, лежащих на одной прямой, называется число (АВ, С) = λ, такое, что

, а сложным отношением четырех точек А, В, С, D, лежащих на одной прямой,— число (АВ, CD) = . Из этого определения непосредственно вытекают следующие свойства.

1. Если (АВ, CD) = (АВ, CD'), то точки Dи D' совпадают.

2. Для любых четырех точек А, В, С, Dпрямой имеем (АВ, CD) = (CD, AB)= = (ВА, DC) = (DC, BA).

Если четыре точки на прямой заданы своими координатами M₁(x₁, у₁), М₂ (х₂, y₂), М₃ (х₃, у₃) и M₄ (х₄, у₄), то

. (1)

Одна из этих формул теряет смысл, если данные точки лежат на прямой, параллельной одной из координатных осей.

Биективное отображение f : Ω → Ω назовем

-преобразованием, если выполнены следующие условия.

а) Внутренние точки круга Ω переходят во внутренние точки этого же круга, а граничные точки этого круга — в граничные точки.

б) Любая хорда окружности ω переходит в некоторую хорду этой же окружности, и при этом сохраняется сложное отношение соответственных точек.

Рассмотрим примеры

-преобразований.

Пример 1. Любое движение евклидовой плоскости, имеющее центр абсолюта своей инвариантной точкой, индуцирует во множестве Ω некоторое

-преобразование. В частности, тождественное преобразование множества Ω, вращение вокруг центра О круга Ω, отражение от любого диаметра круга Ω являются примерами -преобразований.

Пример 2. Пусть отображение f : Ω → Ω в системе координат Оху задано формулами

, ,где |a| < 1 (2)

Так как для точек множества Ω: — 1 ≤ х ≤ 1, то 1 — ах ≠ 0, поэтому каждая точка множества Ω имеет образ. Из формул (2) получаем:

(3)

,. (4)

Из равенства (3) следует, что точки абсолюта ω при отображении fпереходят в точки абсолюта, а точки множества

— в точки того же множества . Далее, из равенств (4) мы заключаем, что каждая точка (х', у') множества Ω имеет единственный прообраз (х, у), поэтому отображение (3) является биекцией множества Ω.

Отметим, что преобразование f, как показывают формулы (2) и (4), является инволютивным, т. е. f^-1 = f.

Докажем, что для преобразования fвыполняются также условия б). Если точки M₁, M₂,, M₃

лежат на прямой Ах + By + С = 0, то, используя формулы (4), мы убеждаемся в том, что их образы M’₁, M’₂,, M’₃ также лежат на некоторой прямой. Таким образом, если UV— некоторая хорда окружности ω, а U= f(U), V= f(V), то все точки хорды UVпереходят в точки хорды U'V’. Но так как f^-1 = f, то все точки хорды U'V’ переходят в точки хорды UV. Таким образом, хорда UVпереходит в хорду U'V’.

Остается доказать, что преобразование (2) сохраняет сложное отношение четырех точек. Пусть M₁(x₁, у₁), М₂ (х₂, y₂), М₃ (х₃, у₃), M₄ (х₄, у₄)— четыре точки, лежащие на одной прямой, пересекающей ось Оу, а М'_i(х_i, у_i), i= 1, 2, 3, 4,— их образы. Используя первую из формул (4), находим:

где i , j = 1, 2, 3, 4, i ≠ j.

Отсюда, применяя формулу (1), получаем (М₁М₂, М₃М₄) = (М’₁M’₂, М'₃M’₄). Если точки М_iлежат на прямой, параллельной оси Оу. или на оси Оу, то используя вторую из формул (4), приходим к тому же выводу. Итак, доказано, что формулами (2) задано инволютивное

-преобразование.

Рассмотрим некоторые свойства

-преобразований. Из определения -преобразования непосредственно следует утверждение.

1°. Если f и g —

-преобразования, то fg и f^-1 являются -преобразованиями.

2°. Любое

-преобразование сохраняет отношение «лежать между» точек круга Ω.

□ Пусгь А, В, С

и А — В — С, а А', В', С' — образы этих точек. Обозначим через UVхорду, на которой лежат данные точки, а через U'V' образ этой хорды. Если точки А и С являются концами хорды UV(т. е. сов- падают с тачками Uи V), то А' и С' являются концами хорды U'V'. В этом случае утверждение 2° очевидно. Предположим, что тачка Uне совпадает ни с одной из точек А и С. Тогда (АС, ВU) = (А'С', B'U') или . Так как (АС, V) < 0, (А'С', V') < 0 и по условию (АС, В) > 0, то из последнего равенства следует, что (А'С', В') > 0. Это означает, что А' — В' — С.

Отсюда мы заключаем, что при

-преобразовании отрезок, принадлежащий кругу Ω, переходит в отрезок; в частности, полухорда круга Ω переходит в полухорду того же круга. Далее, любой сегмент круга Ω переходит в сегмент того же круга.

Пусть UV- хорда круга Ω. AU — полухорда этой хорды, а

— одни из сегментов, ограниченный хордой UV. Пару AU, назовем -флагом и обозначим через (AU, ). На рисунке 1 изображены два -флага (A₁U₁, ) и (A₂U₂, ). Из предыдущего ясно, что -преобразование любой -флаг переводит в -флаг.