Геометрия Лобачевского (стр. 10 из 13)

Все прочие аксиомы, говорящие о связи точек и отрезков или точек и прямых, о взаимном расположении точек и прямых, здесь выполняются. Так, на рис. 4-2 указано построение отрезка с данными концами. Далее, возьмем полуокружность, представляющую «прямую» в модели. Проведем прямую l, касающуюся этой полуокружности и параллельную граничной прямой. Спроектируем полуокружность из ее центра на прямую l (рис.4-3). Получим взаимно однозначное, сохраняющее порядок точек, соответствие между точками прямой и полуокружности, т. е. «прямой» модели. Все свойства, выраженные в аксиомах, будут одни и те же. Они также очевидно выполнены на полупрямых, представляющих «прямые» модели. Аксиома деления плоскости также выполняется. «Прямая» — полуокружность — делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Это и будут «полуплоскости» в нашей модели. Из одной в другую нельзя перейти по какой-либо дуге, не пересекая разделяющую их «прямую» — полуокружность.

Остается определить равенство «отрезков» и «углов» так, чтобы выполнялись соответствующие аксиомы. Это мы сделаем, определив «наложение». Сначала определим «отражение в прямой». За «отражение в прямой» примем инверсию в той окружности, полуокружность которой представляет данная «прямая». Если же «прямая» — это полупрямая, перпендикулярная граничной прямой, то «отражением» в ней будет обычное отражение.

«Наложением» в модели называем любую композицию «отражений». «Равными» считаем фигуры, в частности, «отрезки» и «углы», совмещаемые «наложением».

Это определение сразу приводит к выводу: углы, «равные» в модели, равны без кавычек — в обычном смысле. В самом деле, углы при инверсиях сохраняются, т. е. преобразуются в равные, но они «равны» в модели по определению. Обратно: углы, «равные» в модели, — это т.е., которые преобразуются друг в друга «наложениями», т. е. инверсиями, и, стало быть, они равны в обычном смысле.

При инверсии в окружности с центром на граничной прямой эта прямая и полуплоскость Р отображаются на себя. Поэтому содержащаяся в Р полуокружность с центром на граничной прямой отображается на такую же полуокружность. В модели это означает, что при «отражениях» «прямые» переходят в «прямые». Очевидно, что также «лучи» переходят в «лучи» и «отрезки» — в «отрезки».

Обратимся к откладыванию отрезков и углов в модели. Понятия, относящиеся к модели, будем предварять знаком *.

Пусть даны точка А, *луч а с началом А, *отрезок АВ на этом *луче и *угол abс вершиной А, образованный *лучом а вместе с *лучом b. Пусть даны также точка А', исходящий из нее *луч а', и отмечена * полуплоскость Q, ограниченная *прямой, содержащей *луч а' (рис. 4-4,а). Нам нужно произвести *наложение, переводящее точку А в А’, *луч а — в а' и *луч b — в *луч, лежащий в *полуплоскости Qтак, что *угол, *равный ab, отложится от а' в эту *полуплоскость.

Проведем прямую АА', и пусть она пересекает граничную прямую р в точке О (рис. 4-4,б). Произведем инверсию с центром О, которая переведет А в А'. *Луч а перейдет в *луч а" с началом А', он образует с *лучом а' *угол а'а").

Проведем прямую q(без кавычек), делящую *угол а'а" пополам, и построим окружность с центром на граничной прямой, касающуюся прямой q(кстати, укажите такое построение). Инверсия в этой окружности переведет *луч а" в а' (почему?). В смысле модели это значит, что *отражение в соответствующей *прямой переводит *луч а" в а'. Таким образом, два отражения переводят точку А в А' и *луч а — в а'. Вместе с *лучом вся содержащая его *прямая

— полуокружность — переходит в *прямую

— полуокружность,— содержащую *луч а'. *Полуплоскости, ограниченные *прямой

, отображаются на *полуплоскости, ограниченные *прямой

. *Луч b, служащий стороной данного *угла ab, переходит в *луч b" с началом А'. Но он может оказаться не в той *полуплоскости, которая была заранее отмечена. Тогда нужно произвести еще *отражение в *прямой, содержащей *луч а', т. е. инверсию в окружности, содержащей эту *прямую. При этом на самой *прямой

ничего не происходит: все ее точки остаются неподвижными. И только *луч b" перейдет в *луч b, лежащий в указанной *полуплоскости.

Если на *луче а была отмечена какая-нибудь точка В, и тем самым отмечен *отрезок АВ, то эта точка перейдет в определенную точку В' на *луче а' и *отрезок АВ — в *отрезок А'В' на этом * луче. Так мы получаем результат: на каждом *луче а' можно от его начала отложить *отрезок, *равный данному, т. е. для любого данного *отрезка АВ на данном *луче с началом А' есть такая точка В', что *отрезок АВ можно перевести в *отрезок А'В' путем *наложения.

Совершенно так же то, что *луч bперейдет в *луч b', лежащий в нужной полуплоскости, что и *угол а'b' равен данному ab, позволяет утверждать:

От каждого *луча от его начала по данную сторону от *прямой, его содержащей, можно отложить *угол, равный данному.

Остается доказать, что *угол откладывается единственным образом, так же, как и *отрезок (или, по нашей аксиоме меньшего отрезка, отрезок, содержащийся в данном и не совпадающий с ним, не может быть равен ему).

Утверждение о единственности откладывания угла сводится, очевидно, к следующему:

Если *лучи b, с, исходящие из начала *луча а, образуют с ним равные углы и лежат с одной стороны от него (в одной полуплоскости), то они совпадают.

Но *углы, равные в модели, равны в обычном «евклидовом» смысле, а для обычных углов сказанное, очевидно, верно. *Лучи b, с содержатся в окружностях с центрами на данной прямой р. Раз они образуют с *лучом а данный угол, то, значит, дана касательная к указанным окружностям в точке А. Но окружность с центром на данной прямой, касающаяся другой прямой в данной ее точке, только одна. Значит, *лучи b, с совпадают. Итак, *угол откладывается единственным образом.

*Отрезок, *равный данному, также откладывается на данном *луче единственным образом. Действительно, пусть *отрезок АВ, *равный данному, отложен на данном *луче а с началом А. Если бы можно было отложить другой *отрезок, АС, равный тому же, то это значило бы, что есть *наложение (отличное от тождественного), отображающее *луч сам на себя. Оно отображает тогда на себя и всю содержащую его *прямую — полуокружность а. Если же *наложение переставляет *полуплоскости, ограниченные *прямой а, то добавив отражение в ней, можно добиться того, что и полуплоскости эти будут отображаться каждая на себя.

В таком случае, ввиду сохранения углов, все *лучи, исходящие из точки А, будут отображаться на себя. Значит, при такой композиции инверсий (и отражений в вертикальных лучах) все концы лучей на граничной прямой остаются на месте. Вместе с ними отображаются на себя все полуокружности с концами на граничной прямой, т. е. *прямые модели. Но каждую точку можно получить в пересечении этих *прямых. Поэтому все точки отображаются на себя — «остаются на месте» — так что рассматриваемое *наложение оказывается тождественным вопреки предположению.

Этим единственность откладывания на данном луче отрезка, равного данному, доказана.

На этом доказательство того, что в рассмотренной модели выполняется геометрия Лобачевского, заканчивается. Требование аксиомы меньшего отрезка, что в отрезок нельзя уместить ему равный, заведомо. Выполняется при том, что уже доказано. Впрочем, доказательство того, что оно выполнено, читатель может провести сам.

Описанную модель плоскости Лобачевского можно еще назвать конформной, поскольку в ней наложения представляются инверсиями — преобразованиями, сохраняющими углы.

Модель геометрии Лобачевского в пространстве

Эта модель определяется аналогично модели на плоскости. За пространство принимается открытое полупространство Р. «Плоскостями»» в нем служат содержащиеся в Р полусферы с центрами на граничной плоскости, а также перпендикулярные ей открытые полуплоскости. За «прямые»» принимаются полуокружности, перпендикулярные граничной плоскости (т. е. касательные к ним в концах перпендикуляры этой плоскости; центры их лежат на граничной плоскости), а также перпендикулярные ей лучи. Роль «наложений»» играют композиции инверсий в сферах с центрами на граничной плоскости и отражений в перпендикулярных ей плоскостях.

Модель геометрии Лобачевского на поверхности

Оказывается, что геометрия Лобачевского реализуется на поверхностях постоянной отрицательной кривизной: внутренняя геометрия такой поверхности и есть геометрия Лобачевского. Только не на всей плоскости, а на той ее части, которая может быть представлена данной поверхностью. Вместе с тем доказано, что не существует (в трехмерном евклидовом пространстве) никакой поверхности, которая своей внутренней геометрией представляла бы всю плоскость Лобачевского.

Во внутренней геометрии поверхности роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии (отрезки геодезических); роль наложений — такие отображения фигур, содержащихся в поверхности, которые сохраняют расстояния, измеряемые по этим кратчайшим линиям.

Самая известная из поверхностей постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера — изображена на рис. 4-5.