Геометрический способ сложения сходящихся сил (стр. 3 из 3)

Задачи статики на равновесие тела под действием плоской системы параллельных или сходящихся сил будут статически определимыми, если в них содержится только две скалярных неизвестных. Подробное изложение матричного метода составления уравнений равновесия твердого тела под действием плоской системы сил, а также примеры и исходные данные для выполнения индивидуальных заданий, дано в учебном пособии (глава 2):

Пример. Определить реакции шарнирных опор А и В балки, находящейся под действием сосредоточенной силы F = 60 Н, равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q = 15 Н/м и пары сил с моментом М = 40 Н · м; расстояние а = 1 м.

Решение. Введем систему координат Oxy, совместив начало координат О с неподвижным шарниром А и направив осьOx вдоль балки.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: F, пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка. Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей Q, равной по модулю Q = q · 2a = 30 Н и приложенной в средней точке участка ее действия.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А и подвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция R_A неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим ее на две неизвестные по величине составляющие X_A,Y_A, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует ее перемещению вдоль наклонной плоскости и, следовательно, реакцию R_B следует направить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине.

Таким образом, в задаче имеется три неизвестных скалярных величины: X_A, Y_A, R_B. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой. Составим уравнения равновесия балки под действием плоской системы сил, содержащей заданные активные силы и неизвестные реакции связей, в форме (II):

F_ix = 0; M_А (F_i) = 0; M_В (F_i) = 0.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

F_ix = X_A - R_B sin 30° = 0; (1)

M_А (F_i) = - Q · a + F · 2a + M + (R_B cos 30°) · 3a = 0; (2)

M_В (F_i) = - Y_A · 3a + Q · 2a - F · a + M = 0. (3)

Эта форма уравнений в данном случае обладает тем преимуществом, что каждое из двух уравнений моментов не содержит реакций, приложенных соответственно к моментным точкам А и В (так как их плечи относительно этих точек равны нулю). Напомним, что алгебраические моменты сил берутся со знаком плюс, если они направлены против хода часовой стрелки. При вычислении момента реакции R_B относительно точки А выделена ее вертикальна составляющая, равная R_B cos 30° и имеющая плечо 3a, а горизонтальная составляющая имеет нулевой момент относительно точки А.

Из уравнений (2) и (3) находим

R_B = (Q - 2F - M/a) / (3cos 30°)

-50.0 Н;

Y_A = (2Q - F + M/a) /3

13.3 Н.

Полученное отрицательное значение R_B означает, что сила R_B направлена противоположно тому направлению, которое показано на рисунке.

Для проверки можно составить уравнение проекций сил на ось Oy, которое должно удовлетворяться при найденных значениях Y_A и R_B:

F_iy = Y_A - Q + F + R_B cos 30° = 13.3 - 30 + 60 - 43.3 = 0.

Из уравнения (1) находим

X_A = R_A sin 30°

-25 Н.

Знак минус означает, что составляющая X_A в действительности направлена в отрицательном направлении оси Ox.

Модуль реакции R_A = (X_A² + Y_A²)

28.3 Н.