Выпуклые фигуры (стр. 3 из 3)

Рис. 9. Ротор наименьшей площади внутри равностороннего треугольника. Справа показан отрезок прямой, вращающийся внутри гипоциклоиды.

ческие трудности не позволяют изготовлять сверла в форме ротора для равностороннего треугольника, но сверла, позволяющие делать отверстия в форме правильных пяти-, шести и даже восьмиугольников с незакругленными углами, имеются. Доказано, что в трехмерном пространстве существуют несферические роторы для правильного тетраэдра, октаэдра и куба, но не для додекаэдра и икосаэдра. Относительно роторов в пространствах большего числа измерений почти ничего не известно.

Непосредственное отношение к теории роторов имеет знаменитая задача об игле, названная в честь сформулировавшего ее еще в 1917 году японского математика Какейя «проблемой Какейя». Заключается она в следующем: в какой плоской фигуре, имеющей минимальную площадь, можно повернуть на 360° единичный отрезок прямой? Такой отрезок, очевидно, можно повернуть на 360° внутри окружности диаметром 1, но ограничиваемый ею круг не будет иметь минимально возможную площадь.

Довольно долго математики считали, что решением проблемы Какейя служит кривая, изображенная на (рис. 9 справа), ее площадь равна половине площади круга. (Эта кривая называется гипоциклоидой. Такую кривую описывает точка окружности, катящейся без скольжения внутри большей окружности, если диаметр меньшей окружности составляет 1/3 или 2/3 диаметра большей.) Отломив кусок спички нужных размеров, вы на опыте убедитесь в том, что ее можно повернуть внутри гипоциклоиды как некий одномерный ротор. Обратите внимание, что концы спички будут все время оставаться на контуре гипоциклоиды.

Сенсация произошла в 1927 году, через десять лет после того, как Какейя поставил свою проблему. «Виновником» ее стал А. С. Безикович. Он доказал, что проблема Какейя... не имеет решения! Точнее, из результатов Безиковича следовало, что не существует кривой с минимальной площадью, внутри которой единичный отрезок можно было бы повернуть на 360°. Сколь бы малой ни была площадь фигуры, всегда можно построить другую фигуру с еще меньшей площадью, внутри которой единичный отрезок также сумеет развернуться на 360°. Представим себе отрезок, простирающийся от Земли до Луны. По теореме Безиковича, его можно повернуть на 360° внутри фигуры, площадь которой меньше площади почтовой марки с изображением Линкольна. Если и этого вам покажется мало, то тот же отрезок можно повернуть на 360° внутри фигуры, площадь которой меньше площади, занимаемой на почтовой марке носом Линкольна.

Литература:

1. Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. М:,1990.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1, М:, Просвещение 1986.

3. Данцер Л., Грбнбаум Б., теорема Хелли.- М.: Мир,1968.

4. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: 1969.

5. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика,1985.

6. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов.- М,: «Советская энциклопедия», 1984.

7. Бляшке В. Круг и шар.- М.: Мир, 1968.