Выпуклые фигуры (стр. 2 из 3)

Сверло Уаттса изображено на рис. 4. Справа показано поперечное сечение сверла внутри квадратного отверстия. Сверление производится так. Сначала на металл накладывают металлический шаблон с квадратным отверстием нужных размеров. Сверло, вращаясь внутри отверстия в направляющей пластине (шаблоне), врезается кромками в металл и просверливает в нем квадратное отверстие. Как видно из рис.8, сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки. Когда треугольник Рело вращается, его центр не стоит на месте, поэтому патрон для зажима сверла Уаттса не должен препятствовать этому движению. Компания запатентовала специальный патрон со «свободно плавающим в нем сверлом», удовлетворяющий всем нужным требованиям.

Из всех кривых с заданной постоянной шириной треугольник Рело обладает наименьшей площадью. Если ширина треугольника Рело равна

, то его площадь равна . Углы при вершинах треугольника равны 120°. Это самые «острые» из углов, которые только могут быть у кривой постоянной ширины. Эти

Рис. 5. Симметричная кривая постоянной ширины с закругленными углами.

углы можно закруглить, продолжив каждую из сторон исходного (прямолинейного) равностороннего треугольника на одно и то же расстояние в обе стороны (рис. 5). Проводя дугу окружности с центром в вершине А, нужно увеличить раствор циркуля и провести затем еще одну дугу окружности (на этот раз FG) также с центром в вершине А. То же нужно проделать и в вершинах В и С. Полученная кривая будет по всем направлениям иметь ширину, равную сумме радиусов дуг, описанных из каждой вершины, то есть будет кривой постоянной ширины. Другие симметричные кривые постоянной кривизны вы построите, взяв вместо равностороннего треугольника правильный пятиугольник (или вообще любой правильный многоугольник с нечетным числом сторон) и проделав над ним аналогичную процедуру. Существуют способы, позволяющие строить и несимметричные кривые постоянной кривизны. Один из них состоит в следующем.

Возьмите звездчатый многоугольник неправильной формы (число вершин у такого многоугольника непременно будет нечетным), образованный отрезками прямых равной длины (на рис. 6 показан звездчатый семиугольник). Поставив ножку циркуля в каждую вершину, проведите дугу окружности, соединяющую две противоположные вершины. Поскольку все дуги имеют одинаковый радиус, получившаяся кривая (на рис. 10, она показана жирной линией) будет кривой постоянной ширины. Ее углы можно закруглить, воспользовавшись для этого уже описанным ранее способом: продолжить стороны звездчатого многоугольника на одно и то же расстояние

Рис. 6. Построение кривой постоянной ширины методом звездчатого многоугольника.

в обе стороны и соединить концы продолженных отрезков дугами окружностей с центрами в вершинах звезды. Кривая с закругленными вершинами, проведенная на рис. 6 тонкой линией, будет другой кривой постоянной ширины.

Еще один метод построения кривых постоянной ширины показан на рис. 7. Проведите любое число пересекающихся прямых, затем, ставя по очереди ножку циркуля во все точки пересечения, соединяйте каждый раз дугой окружности те две прямые, которые пересекаются в выбранной вами точке. Начать можно с любой точки, а затем продолжать вычерчивание кривой, сопрягая очередную дугу с предыдущей. Если вы провели все дуги достаточно аккуратно, кривая должна замкнуться, и вы получите еще одну разновидность кривых постоянной ширины. (Доказательство того, что кривая действительно должна замкнуться и быть кривой постоянной ширины, мы оставляем читателю в качестве интересного, но нетрудного упражнения.) Все построенные нами до сих пор кривые постоянной ширины были образованы дугами окружностей лишь двух различных радиусов, но с тем же успехом можно было бы строить кривые постоянной ширины из дуг любого наперед заданного числа окружностей.

Более того, кривая постоянной ширины может вообще не состоять из дуг окружности. В самом деле, возьмем квадрат и проведем произвольную кривую, соединяющую его верхнее основание с нижним и касающуюся левой стороны (кривая AВС на рис. 7 справа).

Рис. 7. Построение кривой постоянной ширины методом пересекающихся прямых. Справа показано, как достроить произвольно проведенную дугу до кривой постоянной ширины.

Эта кривая будет левой частью некоторой однозначно определенной кривой постоянной ширины. Чтобы построить недостающую правую часть, проведем множество прямых, каждая из которых параллельна одной из касательных к дуге AВС и отстоит от нее на расстояние, равное длине стороны квадрата. Построить такие прямые нетрудно, если воспользоваться обеими сторонами линейки (исходный квадрат следует выбирать таких размеров, чтобы его сторона была равна ширине линейки). Наложив линейку так, чтобы одна из ее сторон касалась дуги АВС, проведите прямую вдоль ее другой стороны. Проделайте эту операцию в как можно большем числе точек дуги AВС. Огибающая к проведенным прямым и будет недостающей правой частью кривой постоянной ширины. Этот способ позволяет строить неограниченное число «кривобоких» кривых постоянной ширины. Необходимо заметить, что дуга AВС не вполне произвольна. Грубо говоря, ее кривизна ни в одной точке не должна быть меньше кривизны окружности, радиус которой равен стороне квадрата. Дуга AВС не может, например, включать в себя отрезок прямой.

Если у вас есть нужные инструменты и вы умеете резать по дереву, вам будет приятно выточить деревянные катки, имеющие в сечении вид различных кривых постоянной ширины. Большинство людей теряют дар речи при виде толстой книги, которая движется на кривобоких катках строго параллельно поверхности стола, не испытывая никакой качки вверх и вниз. Еще проще демонстрировать необычайные свойства кривых постоянной ширины, если вырезать их из картона и прибить к деревянной планке на некотором расстоянии друг от друга. Кривые могут быть самой различной формы, важно лишь, чтобы гвозди проходили через их «центры». Если взять большую, но легкую картонную коробку, поставить ее на вертикально стоящие картонные кривые, прибитые к планке, и покатать вперед и назад, то вы увидите поразительную картину: оба конца планки совершают вертикальные перемещения, а коробка едет на картонных «колесах» так, как если бы они были круглыми!

Свойства кривых постоянной ширины.

Одно из удивительных и трудно доказываемых

Рис. 8. Два тела постоянной ширины.

свойств состоит, в том, что все кривые одной и той же постоянной ширины n имеют одинаковые периметры. Поскольку окружность принадлежит к числу кривых постоянной ширины, периметр любой кривой постоянной ширины n равен длине окружности диаметра n, то есть величине

Трехмерные аналоги кривых постоянной ширины называются телами постоянной ширины. Сфера — не единственное тело, которое может вращаться внутри куба, все время, касаясь всех шести его граней. Этим же свойством обладают все тела постоянной ширины. Простейшим примером несферического тела постоянной ширины может служить тело, образующееся при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии (см. левое тело на рис. 8). Существует бесконечно много и других тел постоянной ширины. Те из них, которые имеют наименьший объем при данной ширине, получаются из правильного тетраэдра, так же как треугольник Рело — из равностороннего треугольника: сначала на каждую грань тетраэдра помещают сферические шапочки, а затем слегка скругляют ребра. Ребра либо исходят из одной вершины, либо образуют треугольник. Примером такого искривленного тетраэдра постоянной ширины может служить тело, изображенное на (рис. 8) справа. Поскольку все кривые одинаковой постоянной ширины имеют один и тот же периметр, может показаться, будто и все тела одинаковой постоянной ширины имеют одну и ту же площадь поверхности. Однако такое утверждение не верно. Как показал известный математик Герман Минковский, все тени, отбрасываемые телами постоянной ширины (предполагается, что лучи солнца параллельны, а тень падает на плоскость, перпендикулярную лучам), имеют форму кривых постоянной ширины. Периметры всех теней, отбрасываемых телами одной и той же постоянной ширины, одинаковы (и равны

d, где d — ширина тела). Выпуклая фигура, которая может вращаться внутри многоугольника или многогранника, касаясь все время всех его сторон, называется ротором. Мы видели, что треугольник Рело является ротором минимальной площади для квадрата. Ротор минимальной площади для равностороннего треугольника показан на (рис. 9) слева. Это — фигура в форме линзы (разумеется, ее контур не является кривой постоянной ширины), образованная дугами двух окружностей, радиус которых равен высоте треугольника (каждая дуга составляет 60°). Важно заметить, что концы ротора при вращении описывают весь периметр треугольника, не закругляя углов. К сожалению, технологи-