Возвратные последовательности (стр. 5 из 5)

Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂ = u₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

Аx_k+ Вy_k+ . . . + Cz_k= u_k

с k неизвестными имела решение A, B, . . . , C и притом единственное, при любых значениях правых частей u₁, u₂, u₃, . . . , u_k, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей однородная система

Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁ = 0

Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂ = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

Аx_k+ Вy_k+ . . . + Cz_k= 0

имела бы одно только нулевое решение: A = B = . . . = C = 0 – выполняется в частных случаях

x₁ = 0,y₁ = 0, . . . , z₁ = 0

x₂ = 0,y₂ = 0, . . . , z₂ = 0 (18)

x_k = 0, y_k = 0, . . . , z_k = 1

x₁ = 1,y₁ = 1, . . . , z₁ = 1

x₂ = 0,y₂ = 1, . . . , z₂ = 1 (19)

x_k = 0, y_k = 0, . . . , z_k = 1

1) x₁ = 0,y₁ = 0, . . . , z₁ = 0

x₂ = 0,y₂ = 0, . . . , z₂ = 0

x_k= 0, y_k= 0, . . . , z_k= 1

Тогда однородная для (16) система (17) примет вид

А•1 = 0

В•1= 0

. . . . . .

C•1= 0

А = 0

В= 0

. . . . . .

C= 0

Т. е. A = B = . . . = C = 0.

Получили, что k линейных алгебраических уравнений (16) с k неизвестными имеет единственное решение

A = B = . . . = C = 0.

2) x₁ = 1,y₁ = 1, . . . , z₁ = 1

x₂ = 0,y₂ = 1, . . . , z₂ = 1

x_k = 0, y_k = 0, . . . , z_k = 1

Тогда однородная для (16) система (17) примет вид

А•1+ В•1+ . . . + C•1 = 0

В•1+ . . . + C•1 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C•1= 0

Решая эту систему с конца, получим A = B = . . . = C = 0. Получили, что k линейных алгебраических уравнений (16) с k неизвестными имеет единственное решение A = B = . . . = C = 0.

Заключение

В данной работе поставленные цели достигнуты.

В работе изучены основные теоретические сведения о возвратных последовательностях, приведены примеры таких последовательностей, также доказаны некоторые теоремы. Нужно заметить, что часть теоретического материала рассматривается именно через примеры, с помощью которых выводятся основные формулы теории возвратных последовательностей. Также затронута тема «возвратные задачи», в работе подробно разобраны некоторые из них. Третья глава посвящена изучению и применению возвратных последовательностей в школьном курсе математики, что можно включить в учебную программу факультатива по математике в средней школе.

В практической части применены полученные знания теории возвратных последовательностей. А именно: доказано по определению, что последовательности являются возвратными и проверено условие выполнения теоремы в частных случаях.

Тема «Возвратные последовательности» не является изолированной, Она близка к школьному курсу математики (арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательности квадратов и кубов натуральных чисел и т.д.), используется в высшей алгебре, геометрии, математическом анализе и других математических дисциплинах. Теория возвратных последовательностей составляет особую главу математической дисциплины, называемой исчислением конечных разностей; представляет собой частную главу о последовательностях.

Таким образом, в данной курсовой работе изучена очень важная и актуальная на сегодняшний день тема.

Список литературы

1. Грехем, Р. Конкретная математика. Основание информатики. / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташник. Пер. с англ. – М.:Мир, 1998. – С. 17−37.

2. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике. - М.: Наука, 1950.

3. Мантуров О. В. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2 / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; Под. ред. Л. В. Сабинина. – М.: Просвещение, 1982. – С. 207–208.