Возвратные последовательности (стр. 3 из 5)

y_{n + k} == a₁y_{n +k – 1} + a₂y_{n + k – 2} + … + a_ky_n ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

z_{n + k} == a₁z_{n +k – 1} + a₂z_{n + k – 2} + … + a_kz_n,

Возьмём произвольные числа A, B, . . . , C, по числу последовательностей (32), умножим все члены первого из уравнений на А, второго на В, . . . , последнего на С и сложим . Тогда получится равенство:

А x_{n + k}+ В y_{n + k}+ . . . + С z_{n + k}=

= a₁(Аx_{n +k – 1} + Вy_{n +k – 1} + . . . + Cz_{n +k – 1}) +

+a₂(Аx_{n +k – 2} + Вy_{n +k – 2} + . . . + Cz_{n +k – 2}) + ... + a_k(Аx_n+ Вy_n+ ... + Cz_n).(34)

Из него следует, что последовательность

t₁ = Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁,

t₂ = Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

t_n = Аx_n+ Вy_n+ . . . + Cz_n,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Получающаяся из последовательностей (32) путём умножения всех членов первой из них на А, второй на В, . . . , последней на С и затем почленного сложения последовательностей, удовлетворяет уравнению (31). Изменяя A, B, . . . , C, можно получить различные значения членов t₁, t₂, t₃, ...

Пусть

u₁, u₂, u₃, . . . , u_n, . . . , (36)

- какая-либо последовательность, удовлетворяющая уравнению (31). Если удастся придать числам A, B, . . . , C такие значения, чтобы первые k членов последовательности (35) совпали бы с первыми k членами последовательности (36), то совпадут и все члены последовательностей (35) и (36), т. е. при любом натуральном n будем иметь:

u_n = Аx_n+ Вy_n+ . . . + Cz_n. (37)

Таким образом, открывается возможность представить любую из бесконечного множества последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же возвратному уравнению порядка k, через некоторые из них (32), по формуле (37).

Реализация этой возможности зависит от того, возможно ли подобрать числа A, B, . . . , C так, чтобы удовлетворялись уравнения:

Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁ = u₁

Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂ = u₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (38)

Аx_k+ Вy_k+ . . . + Cz_k= u_k

с произвольно заданными значениями правых частей u₁, u₂, u₃, . . . , u_k.

Так как неизвестными здесь являются числа A, B, . . . , C, а число уравнений равно порядку k возвратного уравнения, то отсюда следует, что и количество неизвестных A, B, . . . , C целесообразно взять также равным k. Известно, что наличие решений у системы k алгебраических уравнений (38) с k неизвестными A, B, . . . ,

C зависит от того, каковы коэффициенты этой системы: x₁, y₁, . . . , z₁, . . . , x_k, y_k, . . . ,z_k, т. е. от того, каковы начальные члены последовательностей (32).

Решение будет существовать при произвольных правых частях u₁, u₂, u₃, . . . , u_k, если положим

x₁ = 0,y₁ = 0, . . . , z₁ = 0

x₂ = 0,y₂ = 0, . . . , z₂ = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (39)

x_k = 0, y_k = 0, . . . , z_k = 1

В этом случае система (38) принимает простейший вид, сразу обнаруживающий решение системы

А = u₁

В = u₂

. . . . . .

C = u_k

Возможен иной выбор чисел x₁, y₁, . . . , z₁, . . . , x_k, y_k, . . . ,z_k, при котором система (38) имеет решение, каковы бы ни были правые части уравнений.

ТЕОРЕМА. Для того чтобы система k линейных алгебраических уравнений (38) с k неизвестными имела решение A, B, . . . , C и притом единственное, при любых значениях правых частей u₁, u₂, u₃, . . . , u_k, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей однородная система

Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁ = 0

Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂ = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (38')

Аx_k+ Вy_k+ . . . + Cz_k= 0

имела бы одно только нулевое решение:

A = B = . . . = C = 0.

Если числа такого рода выбраны в качестве начальных членов последовательностей (32), то любая последовательность, удовлетворяющая возвратному уравнению (31), выразится по формуле (37), где числа A, B, . . . , C определяются из уравнений (38). Система k последовательностей (32), через которые члены любой последовательности, удовлетворяющей данному уравнению (31), выражаются по формулам (37), называется базисом возвратного уравнения.

Вывод: для каждого возвратного уравнения порядка k существует бесконечное множество различных, удовлетворяющих ему последовательностей. Любую из них можно составить из k последовательностей, удовлетворяющих этому уравнению и образующих его базис, путём умножения каждой из k последовательностей соответственно на некоторые числа A, B, . . . , C и почленного сложения.

Таким образом, для полного решения возвратного уравнения порядка k достаточно найти лишь конечное число k удовлетворяющих ему последовательностей, образующих базис этого уравнения.

§5. Характеристическое уравнение для возвратного уравнения

Покажем, что при некоторых условиях можно найти базис возвратного уравнения (31)

u_{n + k} == a₁u_{n +k – 1} + a₂u_{n + k – 2} + … + a_ku_n,

состоящий из k геометрических прогрессий с различными знаменателями. Выясним, при каких условиях некоторая геометрическая прогрессия

x₁ = 1, x₂ = q, . . . , x_n = q^{n – 1}, . . . , (q ≠ 0)

удовлетворяет уравнению (31). Замечая, что

x_{n + k} = q^{n + k – 1}, x_{n + k - 1} = q^{n + k – 2}, . . . , x_n = q^{n – 1}

и подставляя эти величины в уравнение (31) получим:

q^{n + k – 1} = a₁ q^{n + k – 2}+ a₂ q^{n + k – 3} + … + a_n q^{n – 1},

откудаq^k = a₁ q^{k – 1}+ a₂ q^{k – 2} + … + a_k . (40)

Итак, геометрическая прогрессия только тогда может удовлетворять возвратному уравнению (31) порядка k, когда знаменатель прогрессии q удовлетворяет алгебраическому уравнению (40) степени k с теми же коэффициентами, как и в уравнении (31). Уравнение (40) называется характеристическим для возвратного уравнения (31).

Вывод: возвратному уравнению порядка k соответствует алгебраическое уравнение степени k с теми же коэффициентами – его характеристическое уравнение. Каждый из корней характеристического уравнения представляет знаменатель геометрической прогрессии, удовлетворяющий данному возвратному уравнению. В случае, когда все корни характеристического уравнения различны между собой, получаются k различных геометрических прогрессий, образующих базис возвратного уравнения. Следовательно, в этом случае члены любой последовательности, удовлетворяющей возвратному уравнению, можно получить путём почленного сложения некоторых геометрических прогрессий (числом k).

При решении некоторых возвратных задач иногда используют следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Пусть a и b – два натуральных числа, причём a < b; тогда число операций последовательного деления в алгоритме Евклида, необходимых для отыскания наибольшего общего делителя a и b, не превосходит упятерённого числа цифр числа а, записанного по десятичной системе счисления.

§6. Возвратные задачи

1. Задача о ханойской башне

Рассмотрим сначала маленькую изящную головоломку под названием ханойская башня, которую придумал французский математик Эдуард Люка в 1883 г. Башня представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трех колышков. Задача состоит в том, чтобы переместить всю башню на один из других колышков, перенося каждый раз только один диск, и не помещая больший диск на меньший.

Будем решать эту задачу в общем виде, т.е. посмотрим, что будет в случае n дисков.

Будем говорить, что T_n есть минимальное число перекладываний, необходимых для перемещения n дисков с одного колышка на другой по правилам Люка.

Рассмотрим крайние случаи: Т₀ = 0, T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 7. Эксперимент с тремя дисками дает ключ к общему правилу перемещения n дисков: сначала мы перемещаем (n− 1) меньших дисков на любой из колышков (что требует Т_{n- 1} перекладываний), затем перекладываем самый большой диск (одно перекладывание ) и, наконец, помещаем (n− 1) меньших дисков обратно на самый большой диск (еще Т_{n- 1} перекладываний). Таким образом, n дисков (при n> 0) можно переместить самое большое за 2T_{n – 1} + 1 перекладываний (т.е. достаточно перекладываний):

T_n≤ 2T_{n – 1} + 1.

Сейчас покажем, что необходимо 2T_{n – 1} + 1 перекладываний. На некотором этапе мы обязаны переместить самый большой диск. Когда мы это делаем, (n− 1) меньших дисков должны находиться на одном колышке, а для того чтобы собрать их вместе, потребуется по меньшей мере Т_{n- 1} перекладываний. Самый большой диск можно перекладывать и более одного раза.

Но после перемещения самого большого диска в последний раз мы обязаны поместить (n− 1) меньших дисков (которые опять должны находиться на одном колышке) обратно на наибольший диск, что также требует Т_{n- 1} перекладываний.

Следовательно,

T_n≥ 2T_{n – 1} + 1.

Эти два неравенства вместе с тривиальным решением при n= 0 дают рекуррентное соотношение:

Т₀ = 0

T_n= 2T_{n – 1} + 1 при n> 0 (41)

При достаточно большом n для вычисления Т_n потребуется слишком много времени, поэтому получим Т_nв простой, компактной, «замкнутой форме», что позволит вычислить Т_n быстро.