Випадкові події (стр. 5 из 5)

або, якщо

.

Приклад 1. При киданні грального кубика події А – випаде не більше двох очок, В – випаде 3 або 4 очки та С – випаде не менше 5 очок – утворюють повну систему подій.

Якщо подія В може настати при настанні будь-якої події з повної системи подій

, то її ймовірність можна обчислити за формулою повної ймовірності

. (1.9.1)

Доведення. Для відповідної до події B множини можна записати відому теоретико-множинну рівність

.

Події

– несумісні, тому для відповідних подій

.

Звідси

,

що й треба було довести.

Приклад 2. В трьох партіях деталей, що поступили на склад, відсоток якісних деталей відповідно 89, 92 і 97%, а кількість деталей у партіях відноситься як 1:2:3. Необхідно обчислити ймовірність того, що випадково вибрана деталь зі складу, виявиться бракованою.

Розв’язування. Нехай

події – навмання вибрана деталь належить до першої, другої, третьої партій, відповідно. Ці події утворюють повну систему подій. Тому

.

З умови задачі

. Звідси . Нехай подія В – вибрана зі складу деталь є бракованою. Умовні ймовірності події В за умовою задачі

, , .

За формулою повної ймовірності (1)

.

10. Формули Бейєса

Нехай

– повна система подій. Нехай В – подія, яка може настати при настанні будь-якої з цих подій, вже настала. Тоді ймовірності подій із повної системи подій можна обчислити за формулами Бейєса

(1)

Доведення. Операція перерізу множин комутативна

і тому для відповідних подій справджується рівність

.

Це співвідношення також справедливе для події

із повної групи подій :

.

Звідси

.

Останню рівність з врахованням формули повної імовірності (1.9.1) можна переписати у вигляді

,

що і треба було довести.

Умовні ймовірності

задовільняють рівності нормування ймовірностей

.

Часто події А_i називаються гіпотезами, їх ймовірності

апріорними ймовірностями, умовні імовірності апостеріорними ймовірностями, а самі формули Бейєса – теоремою гіпотез.

Приклад 1. Деталі, які виготовлені в цеху заводу, потрапляють для перевірки до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь потрапить до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0.4. Ймовірність того, що деталь буде визнана стандартною першим контролером дорівнює 0.94, другим – 0.98. Вибрана деталь при перевірці виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер.

Розв’язування. Нехай В – вибрана деталь виявилася стандартною. Можна зробити два припущення:

1) деталь перевірив перший контролер (гіпотеза

);

2) деталь перевірив другий контролер (гіпотеза

).

Ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер, обчислюється за формулою Бейєса

.

За умовою задачі:

(ймовірність того, що деталь потрапляє до першого контролера);

(ймовірність того, що деталь потрапить до другого контролера);

(ймовірність того, що вибрана деталь буде визнана стандартною першим контролером);

(ймовірність того, що вибрана деталь буде визнана стандартною другим контролером).

Тому

.

До іспиту ймовірність гіпотези А₁ дорівнювала 0.6, а після того, як став відомий результат іспиту, ймовірність цієї гіпотези змінилася і стала 0.59.