Випадкові події (стр. 4 из 5)

.(5*)

На підставі цього для відповідних випадкових подій А і В можна записати рівності:

, (6*)

,(7*)

,(8*)

,(9*)

.(10*)

З рівностей (6* та 7*)

, і тому рівності (8*, 9* та 10*) можна переписати у вигляді

,

,

,

що і треба було довести.

Імовірність сумісного настання подій

, тому з рівностей (5-7) слідують нерівності:

,(8)

,(9)

.(10)

Для несумісних подій

і нерівності (8-10) переходять у строгі рівності.

Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо для них справджується рівність

, (11)

і залежними, якщо не справджується. Враховуючи властивість асоціативності операції перерізу множин, рівність (10) можна узагальнити на випадок декількох незалежних подій

.(12)

Остання рівність називається теоремою множення ймовірностей незалежних подій.

Якщо події залежні, то настання однієї з них змінює ймовірність іншої.

Приклад 3. В урні є 2 білі та 3 чорні кулі. З урни виймають одну кулю, після чого, не повертаючи її назад, виймають ще одну. Нехай подія А – першого разу вийнята біла куля, а подія В – другого разу вийнята біла куля. Якщо подія А настала, то ймовірність

, а якщо подія А не настала (першого разу вийнята чорна куля), то .

Імовірність події В за умови настання події А називається умовною ймовірністю і позначається

або . З використанням умовних ймовірностей для ймовірності спільного настання будь-яких подій А і В можна записати

.(13)

Якщо

події незалежні, то

(14)

і (13) переходить у рівність (11).

Рівність (13) можна узагальнити на випадок довільної кількості залежних подій,

,(15)

- ймовірність настання події А₃ за умови настання події А₁ і А₂ ,…,

- ймовірність події А_n за умови настання і події А₁, і події А₂, і..., і події А_n-1.

З формули (12) слідує рівність

,(16)

яка часто використовується для означення умовної ймовірності.

8. Залежність/незалежність та сумісність/несумісність подій

У більшості практичних випадках важко одразу зробити висновок про незалежність/залежність подій та про їх сумісність/несумісність, і тому необхідні певні дослідження.

Для перевірки залежності/незалежності подій необхідно перевірити рівність (1.7.11) або (1.7.13). Рівність справджується – події незалежні, не справджується – залежні.

Приклад 1. Необхідно дослідити на залежність/незалежність події А – випаде дубль при киданні двох кубиків – і події В – випаде менше 6 очок.

Розв’язування. Для цього необхідно обчислити

та . Це можна зробити, якщо скористатися класичним означенням ймовірностей. Події А сприяють наслідки , всього 6 із 36. Тому . Події В сприяють наслідки

всього 10 із 36. Тому . Одночасному настанню подій А і В сприяють наслідки , всього 2. Тому .

Отже,

. Висновок – події залежні.

Для перевірки сумісності/несумісності випадкових подій необхідно перевірити умову

. Рівність справджується – події несумісні, не справджується – сумісні.

Приклад 2. Події А і В з прикладу 1.8.1 є сумісними:

.

Незалежні події А і В при ненульових ймовірностях завжди сумісні.

Доведення. З означення незалежності подій

слідує, що якщо і , то , що і є означенням сумісності подій.

Несумісні події обов’язково незалежні. Сумісні події можуть бути як залежними, так і незалежними.

Для сукупності подій А₁, А₂, …, А_n можна говорити про залежність/незалежність та сумісність/несумісність подій у сукупності. Події є несумісними у сукупності, якщо

.(1.8.1)

Несумісність подій у сукупності слідує з попарної несумісності

.

Події А₁, А₂, …, А_n незалежні у сукупності, якщо виконується умова

.(1.8.2)

Взагалі кажучи, з попарної незалежності подій не слідує незалежність подій у сукупності.

Приклад 3. Нехай три грані правильного тетраедра зафарбовані у червоний, зелений та синій кольори, відповідно, четверта грань у три кольори – червоний, зелений та синій. Нехай подія R – тетраедр впав на грань з червоним кольором, G – тетраедр впав на грань із зеленим кольором, B – тетраедр впав на грань із синім кольором. Очевидно, що ймовірності

. Дійсно, при киданні тетраедра можливі 4 наслідки: тетраедр впав або на червону грань, або на синю, або на зелену, або на різнокольорову. Події R сприяє два наслідки – тетраедр впав на червону грань або на різнокольорову. Тому . Аналогічно для подій G і B. Події сприяє один наслідок – тетраедр впав на різнокольорову грань. Тому : події R і G є незалежними. Аналогічно встановлюється незалежність подій R і B та G і B. Події – тетраедр впав на грань з трьома кольорами – сприяє один наслідок, тому . Отже, незважаючи на попарну незалежність, події G, R, B є залежними у сукупності.

Для незалежності подій у сукупності крім умов

мають виконуватися аналогічні умови для сполучень із n подій по 3, 4, …, n подій.

Приклад 4. Для трьох подій А, В, С умовами незалежності у сукупності є:

,

,

,

.

9. Формула повної ймовірності

Несумісні події

утворюють повну систему (групу) подій, якщо диз’юнктивна сума відповідних множин дорівнює універсуму,

,