Випадкові події (стр. 2 из 5)

Числа розміщень, сполучень та перестановок зв’язані співвідношенням

.(6)

Приклад 6. В партії з n елементів є k відмічених. Знайти ймовірність того, що з випадково вибраних m елементів відмічених буде x елементів (подія А).

Розв’язування. Загальна кількість наслідків дорівнює числу сполучень з n елементів по m елементів:

.

Наслідки, що сприяють події А, відповідають сполученням з x вибраних відмічених елементів і m-x вибраних невідмічених елементів. Відмічені елементи можна вибрати

способами, невідмічені – способами. За правилом добутку число наслідків, що сприяють події А, дорівнює . За класичним означенням ймовірність події А дорівнює

(7)

При

(

за визначенням),

, .

Класичне означення ймовірностей виникло на початку розвитку теорії ймовірностей у зв’язку з вивченням шансів на виграш в азартних іграх. В той самий час класичне означення неможливо розглядати як строге означення ймовірностей. Воно використовує поняття рівноможливості, яке, по суті, означає однакову ймовірність. Виходить, що ймовірність визначається через ймовірність.

Класичне означення ймовірностей не має сенсу у випадках, коли наслідки не є рівноможливими, або коли їх нескінченна кількість.

4. Геометричні ймовірності

Поняття геометричних ймовірностей – ймовірностей попадання точки в область (відрізок, частину площини і т.д.) – використовують у випадку стохастичних експериментів із нескінченною кількістю рівноможливих та несумісних наслідків.

Нехай відрізок

, l – довжина відрізку , L – довжина відрізку . На відрізок навмання кидається точка. Це означає виконання таких умов:

– кинута точка може опинитися в будь-якій точці відрізку

;

– ймовірність попадання точки на відрізок

пропорційна його довжині і не залежить від його розташування на відрізку .

За таких умов ймовірність попадання точки на відрізок

дорівнює відношенню довжин відрізків:

.(1)

Якщо

, то розглядається ймовірність попадання точки в точку на відрізку . Як слідує з (1), така ймовірність дорівнює нулю:

.

Отже, якщо ймовірність події дорівнює нулю, то необов’язково, що ця подія неможлива.

Нехай g – плоска фігура, яка цілком знаходиться всередині іншої плоскої фігури G. На фігуру G навмання кидається точка. Це означає виконання таких допущень:

– кинута точка може опинитись у будь-якій точці фігури G;

– ймовірність попадання точки на фігуру g пропорційна площі цієї фігури і не залежить ні від її розташування відносно фігури G, ні від її форми.

За таких умов ймовірність попадання точки у фігуру g дорівнює відношенню площ фігур:

,(2)

– площа фігури g, – площа фігури G.

Означення (1) та (2) є частковими випадками загального означення геометричних ймовірностей:

,(3)

де mes позначає міру (площу, об’єм, довжину) області,

– вектор, який визначає точку у n-вимірному евклідовому просторі.

Приклад 1. У сигналізатор поступають сигнали з двох пристроїв. Надходження сигналів від пристроїв рівноможливе у будь-який момент часу на проміжку від 0 до Т. Моменти надходження сигналів незалежні один від одного. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша ніж t

. Знайти ймовірність того, що сигналізатор подасть сигнал за час Т (подія A), якщо кожен із пристроїв надішле по одному сигналу.

Розв’язування. Нехай моменти надходження сигналів від першого й другого пристроїв відповідно x та y. За умовою задачі

(*)

Нерівностям (*) задовільняють координати будь-якої точки квадрату ОТАТ (рис. 1). Отже, цей квадрат можна розглядати як фігуру G. Його площа

. Сигналізатор подає сигнал, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша за t;

, якщо ,(**)

, якщо .(***)

Нерівність (**) виконується для точок фігури G, які знаходяться вище прямої

і нижче прямої ; нерівність (***) має місце для точок, які знаходяться нижче прямої і вище прямої . Як видно з рис.1 нерівностям (**) та (***) одночасно задовільнять точки заштрихованого шестикутника, який можна прийняти в якості фігури g. Його площа . За формулою (2)

5. Статистичне означення ймовірностей

Статистичне означення ймовірності базується на спостереженнях за випадковою подією при послідовності експериментів.

Нехай експеримент S повторено n разів і подія A у цьому конкретному експерименті настала m разів. Відношення

(1)

називається відносною частотою випадкової події.

Відносна частота змінюється від серії до серії з n експериментів, але має властивість стійкості. Це означає, що у різних серіях із достатньої великої кількості експериментів, відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше виконано експериментів у серії), коливаючись біля деякого постійного числа, близьким до ймовірності події А.

Тому відносну частоту можна прийняти за наближене значення ймовірності:

.(2)

Наближена рівність (2) є тим точніша, чим більше n.

Приклад 1. Відділ технічного контролю виявив 5 бракованих книг, випадково вибраних із партії, що містить 100 книг. Знайти відносну частоту появи бракованих книг.

Розв’язування. Заумовою задачі

. За формулою (1)

.

Статистичне означення ймовірності дозволяє експериментально оцінити правомірність класичного означення ймовірностей та геометричних ймовірностей в окремому випадку.

6. Аксіоматичне означення ймовірностей

Теорія ймовірностей стала логічно завершеним розділом математики після того, як в її основу була покладена система аксіом. Таку систему аксіом легко описати мовою теорії множин.

Можливі наслідки експерименту S утворюють множину елементарних подій

, яка є універсумом. Елементарні події не сумісні. Це означає, що настання однієї з цих подій виключає настання будь-якої іншої. Випадкова подія А ототожнюється з підмножиною універсуму U, яка містить елементарні події, що сприяють події А. Неможлива подія ототожнююється з порожньою множиною, достовірна з універсумом U, а протилежна подія з доповненням множини А до універсуму. Протилежна подія до події А полягає в тому, що подія А не настає.