Вариации при исчислении (стр. 7 из 7)
, 
, и условие 
(3.6)переходит в условие (считая
произвольным). 
(3.7)Это условие носит название условия трансверсальности в задаче об исследовании на экстремум функционала (3.4).
Условие (3.7) совместно с уравнениями
, 
дает недостающие уравнения для определения произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.Если граничная точка
может перемещаться по некоторой поверхности 
, то 
, причем вариации 
и 
произвольны. Следовательно, условие (3.6) в силу независимости и дает 
, 
(3.8)Если рассматривать функционал
,то в случае одной подвижной точки
в этой точке 
Пример. Найти условие трансверсальности для функционала
,если
.Условия трансверсальности (3.8) в данном случае имеют вид
и 
при 
или 
при т.е. являются условиями параллельности вектора касательной 
к искомой экстремали в точке 
и вектора нормали 
к поверхности 
в той же точке. Следовательно, усливие трансверсальности становится в данном случае условием ортоганальности экстремали к поверхности .Примеры
1. Найти экстремаль функционала
при заданных краевых условиях на концах отрезка 
. Считается, что 
.Пример 1.
, 
, 
.Решение:
Вычислим первую вариацию функционала
.После преобразования этого функционала получим
.Произвольные функции
и удовлетворяют условию 
.В точке
предполагаемого экстремума функционала 
должно выполняться необходимое условие 
, поэтому уравнение Эйлера будет иметь вид 
Это уравнение приводится к виду
и должно решаться при условии
, 
.Имеем
, 
, 
, 
; 
, 
, 
, 
, 
. 
откуда
, 
.Таким образом, получаем решение
.Исследовать функционал
, заданный на отрезке 
, на экстремум. При заданных краевых условиях считается, что 
.Пример 2.
, 
, 
.Решение. Найдем первую вариацию функционала
Необходимое условие экстремума функционала в точке
даёт уравнение Эйлера 
.Это уравнение при краевых условиях
, дает решение 
.Так как в данном примере
, то
, 
, 
, 
и усиленное условие Лежандра
выполняется.Уравнение Эйлера для интеграла (1.39) (см. 1.8.) будет иметь вид (после замены
на 
) 
или
Откуда
, 
.Для нахождения
, 
имеем условия 
, 
.Откуда
, 
.Проверим условие Якоби. Решение
на интервале 
положительно. Следовательно, усиленное условие Якоби выполняется. Отсюда делаем заключение, что экстремаль дает функционалу сильный (абсолютный) минимум.
Список используемой литературы
1. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука. 1961.
2. Коршунов Ю.М., «Математические основы кибернетики», Москва, 1987 г.;
3. Таха Х., «Введение в исследование операций», Москва, 1985 г.;
4. Д. Сю., А. Мейер, «Современная теория автоматического управления и её применение», Машиностроение, 1972 г.;